Modelo de efectos aleatorios

Modelo estadístico

En estadística , un modelo de efectos aleatorios , también llamado modelo de componentes de varianza , es un modelo estadístico en el que los parámetros del modelo son variables aleatorias . Es un tipo de modelo lineal jerárquico , que supone que los datos que se analizan se extraen de una jerarquía de diferentes poblaciones cuyas diferencias se relacionan con esa jerarquía. Un modelo de efectos aleatorios es un caso especial de un modelo mixto .

Contraste esto con las definiciones de bioestadística , ^{[1] [2] [3] [4] [5]} donde los bioestadísticos usan efectos "fijos" y "aleatorios" para referirse respectivamente a los efectos promedio de la población y a los efectos específicos del sujeto (y donde generalmente se asume que estos últimos son variables latentes desconocidas ).

Descripción cualitativa

Los modelos de efectos aleatorios ayudan a controlar la heterogeneidad no observada cuando esta es constante a lo largo del tiempo y no está correlacionada con variables independientes. Esta constante se puede eliminar de los datos longitudinales mediante la diferenciación, ya que al tomar una primera diferencia se eliminarán todos los componentes invariantes en el tiempo del modelo. ^[6]

Se pueden hacer dos supuestos comunes sobre el efecto específico individual: el supuesto de efectos aleatorios y el supuesto de efectos fijos. El supuesto de efectos aleatorios es que la heterogeneidad individual no observada no está correlacionada con las variables independientes. El supuesto de efectos fijos es que el efecto específico individual está correlacionado con las variables independientes. ^[6]

Si se cumple el supuesto de efectos aleatorios, el estimador de efectos aleatorios es más eficiente que el modelo de efectos fijos.

Ejemplo sencillo

Supongamos que se eligen al azar escuelas primarias grandes entre miles de ellas en un país grande. Supongamos también que se eligen al azar alumnos de la misma edad en cada escuela seleccionada. Se determinan sus puntuaciones en una prueba de aptitud estándar. Sea la puntuación del alumno -ésimo en la escuela -ésima. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

Una forma sencilla de modelar esta variable es

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +U_{i}+W_{ij},\,}$

¿Dónde está la puntuación media de la prueba para toda la población? ${\displaystyle \mu }$

En este modelo se encuentra el efecto aleatorio específico de la escuela : mide la diferencia entre la puntuación media de la escuela y la puntuación media de todo el país. El término es el efecto aleatorio específico del individuo, es decir, es la desviación de la puntuación del alumno -ésimo respecto de la media de la escuela -ésima. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

El modelo se puede ampliar con la inclusión de variables explicativas adicionales que permitan captar las diferencias en las puntuaciones entre los distintos grupos. Por ejemplo:

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\beta _{1}\mathrm {Sex} _{ij}+\beta _{2}\mathrm {ParentsEduc} _{ij}+U_{i}+W_{ij},\,}$

donde es una variable binaria ficticia y registra, por ejemplo, el nivel educativo promedio de los padres de un niño. Este es un modelo mixto , no un modelo de efectos puramente aleatorios, ya que introduce términos de efectos fijos para el sexo y la educación de los padres. ${\displaystyle \mathrm {Sex} _{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {ParentsEduc} _{ij}}$

Componentes de la varianza

La varianza de es la suma de las varianzas y de y respectivamente. ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle W_{ij}}$

Dejar

${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

sea ​​el promedio, no de todas las puntuaciones de la escuela -ésima, sino de las de la escuela -ésima que están incluidas en la muestra aleatoria . Sea ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

sea ​​el gran promedio

Dejar

${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^{2}\,}$

${\displaystyle SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{2}\,}$

sean respectivamente la suma de los cuadrados debidos a las diferencias dentro de los grupos y la suma de los cuadrados debidos a las diferencias entre los grupos. Entonces se puede demostrar ^{[ cita requerida ]} que

${\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.}$

Estos " cuadrados medios esperados " se pueden utilizar como base para la estimación de los "componentes de varianza" y . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$

El parámetro también se denomina coeficiente de correlación intraclase . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Probabilidad marginal

Para los modelos de efectos aleatorios las probabilidades marginales son importantes. ^[7]

Aplicaciones

Los modelos de efectos aleatorios utilizados en la práctica incluyen el modelo Bühlmann de contratos de seguro y el modelo Fay-Herriot utilizado para la estimación de áreas pequeñas .

Véase también

• Modelo Bühlmann
• Modelado lineal jerárquico
• Efectos fijos
• MINQUE
• Estimación de covarianza
• Varianza condicional
• Análisis de panel

Lectura adicional

• Baltagi, Badi H. (2008). Análisis econométrico de datos de panel (4.ª ed.). Nueva York, NY: Wiley. pp. 17–22. ISBN 978-0-470-51886-1.
• Hsiao, Cheng (2003). Análisis de datos de panel (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Cambridge University Press. págs. 73–92. ISBN 0-521-52271-4.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2002). Análisis econométrico de datos de sección transversal y de panel . Cambridge, MA: MIT Press. pp. 257–265. ISBN 0-262-23219-7.
• Gomes, Dylan GE (20 de enero de 2022). "¿Debo utilizar efectos fijos o efectos aleatorios cuando tengo menos de cinco niveles de un factor de agrupación en un modelo de efectos mixtos?". PeerJ . 10 : e12794. doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC  8784019 . PMID  35116198.

Referencias

1. Diggle, Peter J.; Heagerty, Patrick; Liang, Kung-Yee; Zeger, Scott L. (2002). Análisis de datos longitudinales (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 169-171. ISBN 0-19-852484-6.
2. Fitzmaurice, Garrett M.; Laird, Nan M.; Ware, James H. (2004). Análisis longitudinal aplicado . Hoboken: John Wiley & Sons. págs. 326–328. ISBN 0-471-21487-6.
3. Laird, Nan M.; Ware, James H. (1982). "Modelos de efectos aleatorios para datos longitudinales". Biometrics . 38 (4): 963–974. doi :10.2307/2529876. JSTOR  2529876. PMID  7168798.
4. Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "Efectos fijos, efectos aleatorios y GEE: ¿Cuáles son las diferencias?". Estadísticas en Medicina . 28 (2): 221–239. doi :10.1002/sim.3478. PMID  19012297.
5. Gomes, Dylan GE (20 de enero de 2022). "¿Debo utilizar efectos fijos o efectos aleatorios cuando tengo menos de cinco niveles de un factor de agrupamiento en un modelo de efectos mixtos?". PeerJ . 10 : e12794. doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019 . PMID  35116198. 
6. Wooldridge, Jeffrey (2010). Análisis econométrico de datos de sección transversal y de panel (2.ª ed.). Cambridge, Mass.: MIT Press. p. 252. ISBN 9780262232586.OCLC 627701062  .
7. Hedeker, D., Gibbons, R. D. (2006). Análisis de datos longitudinales. Alemania: Wiley. Página 163 https://books.google.com/books?id=f9p9iIgzQSQC&pg=PA163

Enlaces externos

• Modelos de efectos fijos y aleatorios
• Cómo realizar un metanálisis: modelos de efectos fijos y aleatorios