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Al-Jabr

Al-Jabr ( árabe : الجبر ), también conocido como El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio ( árabe : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah ; [b] o Latín : Liber Algebræ et Almucabola ), es untratado matemático árabe sobre álgebra escrito en Bagdad alrededor del año 820 por el erudito persa Al-Khwarizmi . Fue una obra histórica en la historia de las matemáticas , cuyo título es la etimología última de la palabra "álgebra", posteriormente tomada prestada del latín medieval como algebrāica .

Al-Jabr proporcionó una explicación exhaustiva de la solución de las raíces positivas de ecuaciones polinómicas hasta el segundo grado. [1] : 228  [c] Fue el primer texto para enseñar álgebra elemental , y el primero para enseñar álgebra por sí misma. [d] También introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (a los que se refería originalmente el término al-jabr ), la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la ecuación. [e] El historiador de las matemáticas Victor J. Katz considera a Al-Jabr como el primer texto de álgebra verdadero que aún existe. [f] Traducido al latín por Roberto de Chester en 1145, se utilizó hasta el siglo XVI como el principal libro de texto matemático de las universidades europeas. [4] [g] [6] [7]

Varios autores también han publicado textos bajo este nombre, entre ellos Abu Hanifa Dinawari , Abu Kamil , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr y Šarafaddīn al-Ṭūsī .

Legado

R. Rashed y Angela Armstrong escriben:

El texto de Al-Juarizmi se distingue no sólo de las tablillas babilónicas , sino también de la Aritmética de Diofanto . Ya no se trata de una serie de problemas por resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que a partir de ahora constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de ecuación por sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está llamada específicamente a definir una clase infinita de problemas. [8]

JJ O'Connor y EF Robertson escribieron en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor :

Tal vez uno de los avances más significativos de las matemáticas árabes comenzó en esta época con el trabajo de al-Khwarizmi, es decir, los inicios del álgebra. Es importante entender cuán significativa fue esta nueva idea. Fue un cambio revolucionario respecto del concepto griego de matemáticas, que era esencialmente geometría. El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales , los números irracionales , las magnitudes geométricas, etc., fueran tratados como "objetos algebraicos". Le dio a las matemáticas un camino de desarrollo completamente nuevo, mucho más amplio en concepto que el que había existido antes, y proporcionó un vehículo para el desarrollo futuro de la materia. Otro aspecto importante de la introducción de ideas algebraicas fue que permitió que las matemáticas se aplicaran a sí mismas de una manera que no había sucedido antes. [9]

Biblia

El libro fue una compilación y extensión de las reglas conocidas para resolver ecuaciones cuadráticas y para algunos otros problemas, y se consideró que era la base del álgebra, estableciéndola como una disciplina independiente. La palabra álgebra se deriva del nombre de una de las operaciones básicas con ecuaciones descritas en este libro, siguiendo su traducción al latín de Robert de Chester . [10]

Ecuaciones cuadráticas

Páginas de una copia árabe del libro del siglo XIV, que muestran soluciones geométricas de dos ecuaciones cuadráticas.

El libro clasifica las ecuaciones cuadráticas en uno de los seis tipos básicos y proporciona métodos algebraicos y geométricos para resolver las ecuaciones básicas. El historiador Carl Boyer señala lo siguiente con respecto a la falta de notaciones abstractas modernas en el libro: [11]

... el álgebra de Al-Juarizmi es completamente retórica, sin ningún tipo de sincopación (véase Historia del álgebra ) que se encuentra en la Arithmetica griega o en la obra de Brahmagupta . ¡Incluso los números se escribían con palabras en lugar de símbolos!

—  Carl B. Boyer, Una historia de las matemáticas

De este modo, las ecuaciones se describen verbalmente en términos de "cuadrados" (lo que hoy sería " x 2 "), "raíces" (lo que hoy sería " x ") y "números" ("constantes": números escritos con letras, como 'cuarenta y dos'). Los seis tipos, con notaciones modernas, son:

  1. cuadrados iguales a raíces ( ax 2 = bx )
  2. cuadrados igual a numero ( ax 2 = c )
  3. raíces iguales en número ( bx = c )
  4. cuadrados y raíces son iguales en número ( ax 2 + bx = c )
  5. cuadrados y numeros son iguales a raices ( ax 2 + c = bx )
  6. raíces y números iguales al cuadrado ( bx + c = ax 2 )

Los matemáticos islámicos, a diferencia de los hindúes, no trabajaban con números negativos; por lo tanto, una ecuación como bx + c = 0 no aparece en la clasificación, porque no tiene soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. De manera similar, las ecuaciones de los tipos 4, 5 y 6, que parecen equivalentes para el ojo moderno, se distinguieron porque todos los coeficientes deben ser positivos. [12]

La operación de Al-Jabr (que significa "forzar", "restaurar") consiste en mover una cantidad deficiente de un lado de la ecuación al otro. En un ejemplo de Al-Khwarizmi (en notación moderna), Al-Jabr transforma " x 2 = 40 x  − 4 x 2 " en "5 x 2 = 40 x ". La aplicación repetida de esta regla elimina las cantidades negativas de los cálculos.

Al-Muqābala ( المقابله , "equilibrio" o "correspondiente") significa restar la misma cantidad positiva de ambos lados: " x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 " se convierte en " 5 = 40 x + 3 x 2 ". La aplicación repetida de esta regla hace que las cantidades de cada tipo ("cuadrado" / "raíz" / "número") aparezcan en la ecuación como máximo una vez, lo que ayuda a ver que solo hay 6 tipos básicos solucionables del problema, cuando se restringe a coeficientes y soluciones positivos.

Las partes posteriores del libro no se basan en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Área y volumen

El segundo capítulo del libro cataloga métodos para hallar el área y el volumen . Estos incluyen aproximaciones de pi (π), dadas de tres maneras, como 3 1/7, √10 y 62832/20000. Esta última aproximación, que equivale a 3,1416, apareció anteriormente en el Āryabhaṭīya indio (499 d. C.). [13]

Otros temas

Al-Khwārizmī explica el calendario judío y el ciclo de 19 años descrito por la convergencia de los meses lunares y los años solares. [13]

Aproximadamente la mitad del libro trata de las reglas islámicas de herencia , que son complejas y requieren habilidad en ecuaciones algebraicas de primer orden. [14]

Referencias

Notas

  1. ^ Este libro es la fuente de la palabra; vea el título transcrito.
  2. ^ El título árabe a veces se condensa como Hisab al-Jabr wal-Muqabalah o Kitab al-Jabr wal-Muqabalah o aparece bajo otras transliteraciones .
  3. ^ "Los árabes en general amaban un buen argumento claro desde la premisa hasta la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos en los que ni Diofanto ni los hindúes sobresalían". [1] : 228 
  4. ^ "En cierto sentido, Khwarizmi tiene más derecho a ser llamado "el padre del álgebra" que Diofanto porque Khwarizmi es el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y, por su propio bien, Diofanto se ocupa principalmente de la teoría de los números". [2]
  5. ^ "No se sabe con certeza qué significan exactamente los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la que se da a entender en la traducción anterior. La palabra al-jabr probablemente significaba algo así como "restauración" o "completación" y parece referirse a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, lo que es evidente en el tratado; se dice que la palabra muqabalah se refiere a "reducción" o "equilibrio", es decir, la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la ecuación". [1] : 229 
  6. ^ "El primer texto de álgebra verdadero que aún se conserva es la obra sobre al-jabr y al-muqabala de Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi, escrita en Bagdad alrededor de 825" . [3]
  7. ^ "El libro compendioso sobre cálculo por terminación y equilibrio" (Hisab al-Jabr wa H-Muqabala) sobre el desarrollo del tema no puede subestimarse. Traducido al latín durante el siglo XII, siguió siendo el principal libro de texto de matemáticas en las universidades europeas hasta el siglo XVI" [5]

Citas

  1. ^ abc Boyer, Carl B. (1991). "La hegemonía árabe". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
  2. ^ Gandz; Saloman (1936). Las fuentes del álgebra de al-Khwarizmi . Vol. I. Osiris. págs. 263–277.
  3. ^ Katz, Victor J.; Barton, Bill (diciembre de 2006). "Etapas en la historia del álgebra con implicaciones para la enseñanza". Educational Studies in Mathematics . 66 (2): 185–201. doi :10.1007/s10649-006-9023-7.Véase pág. 190.
  4. ^ Philip Khuri Hitti (2002). Historia de los árabes . Macmillan International Higher Education. pp. 379. ISBN 9780333631423.
  5. ^ Fred James Hill, Nicholas Awde (2003). Una historia del mundo islámico . Hippocrene Books. pp. 55. ISBN 9780781810159.
  6. ^ Overbay, Shawn ; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "Al-Khwarizmi". Universidad de Kentucky.
  7. ^ "El Islam en España y la historia de la tecnología". www.sjsu.edu . Consultado el 24 de enero de 2018 .
  8. ^ Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). El desarrollo de las matemáticas árabes . Springer . Págs. 11-12. ISBN. 0-7923-2565-6.OCLC 29181926  .
  9. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). "Matemáticas árabes: ¿brillantez olvidada?". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de St Andrews .
  10. Roberto de Chester (1915). Álgebra de Al-Khowarizmi. Macmillan. Archivado desde el original el 18 de noviembre de 2018.
  11. ^ Carl B. Boyer, Una historia de las matemáticas, segunda edición (Wiley, 1991), pág. 228
  12. ^ Berggren, JL (1986). "Álgebra en el Islam". Episodios de las matemáticas del Islam medieval . Saltador. págs. 99-126. doi :10.1007/978-1-4612-4608-4_4. ISBN 9781461246084.Véase la página 103.
  13. ^ ab BL van der Waerden, Una historia del álgebra: de al-Khwārizmī a Emmy Noether ; Berlín: Springer-Verlag, 1985. ISBN 3-540-13610-X 
  14. ^ David A. King (2003). "Matemáticas aplicadas a aspectos del ritual religioso en el Islam". En I. Grattan-Guinness (ed.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences . Vol. 1. JHU Press. pág. 83. ISBN 9780801873966.

Lectura adicional

Enlaces externos