Cromodinámica cuántica perturbativa

Aplicación de métodos perturbativos a la cromodinámica cuántica, el estudio de la interacción fuerte

La cromodinámica cuántica perturbativa (también QCD perturbativa ) es un subcampo de la física de partículas en el que se estudia la teoría de interacciones fuertes, la cromodinámica cuántica (QCD), utilizando el hecho de que la constante de acoplamiento fuerte es pequeña en interacciones de alta energía o corta distancia, lo que permite aplicar técnicas de teoría de perturbaciones . En la mayoría de las circunstancias, hacer predicciones comprobables con QCD es extremadamente difícil, debido al número infinito de posibles interacciones topológicamente no equivalentes. En distancias cortas, el acoplamiento es lo suficientemente pequeño como para que este número infinito de términos se pueda aproximar con precisión mediante un número finito de términos. Aunque solo es aplicable a altas energías, este enfoque ha dado como resultado las pruebas más precisas de QCD hasta la fecha ^{[ cita requerida ]} . ${\displaystyle \alpha _{s}}$

Una prueba importante de la QCD perturbativa es la medición de la relación entre las tasas de producción de y . Dado que solo se considera la tasa de producción total, la suma de todos los hadrones en estado final cancela la dependencia del tipo específico de hadrón, y esta relación se puede calcular en la QCD perturbativa. ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to {\text{hadrons}}}$ ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}}$

La mayoría de los procesos de interacción fuerte no se pueden calcular directamente con QCD perturbativa, ya que no se pueden observar quarks y gluones libres debido al confinamiento de color . Por ejemplo, la estructura de los hadrones tiene una naturaleza no perturbativa . Para explicar esto, los físicos ^{[ ¿quiénes? ]} desarrollaron el teorema de factorización de QCD, que separa la sección eficaz en dos partes: la sección eficaz de partones de corta distancia calculable de forma perturbativa y dependiente del proceso , y las funciones universales de larga distancia. Estas funciones universales de larga distancia se pueden medir con un ajuste global a los experimentos e incluyen funciones de distribución de partones , funciones de fragmentación , funciones de correlación de múltiples partones, distribuciones de partones generalizadas , amplitudes de distribución generalizadas y muchos tipos de factores de forma . Hay varias colaboraciones para cada tipo de funciones universales de larga distancia. Se han convertido en una parte importante de la física de partículas moderna .

Formulación matemática de QCD

La cromodinámica cuántica se formula en términos de la densidad lagrangiana.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi }$

Expresiones en el Lagrangiano

Contenido de la materia

El contenido de materia del Lagrangiano es un campo de espinor y un campo de calibre , también conocido como campo de gluones. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

El campo de espinor tiene índices de espín, sobre los que actúan las matrices gamma , así como índices de color sobre los que actúa la derivada covariante . Formalmente, el campo de espinor es entonces una función del espacio-tiempo valorada como un producto tensorial de un vector de espín y un vector de color. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

La cromodinámica cuántica es una teoría de calibre y, por lo tanto, tiene un grupo de calibre asociado, que es un grupo de Lie compacto . Un vector de color es un elemento de algún espacio de representación de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El campo de calibración se valora en el álgebra de Lie de . De manera similar al campo de espinores, el campo de calibración también tiene un índice de espacio-tiempo , y por lo tanto se valora como un co-vector tensorizado con un elemento de . En la teoría de Lie, siempre se puede encontrar una base de tal que . En geometría diferencial se conoce como conexión . ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta ^{ab}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Diagramas de Feynman para propagadores e interacciones en QCD

El campo de calibración no aparece explícitamente en el lagrangiano sino a través de la curvatura definida Esto se conoce como el tensor de intensidad del campo de gluones o geométricamente como la forma de curvatura . El parámetro es la constante de acoplamiento para QCD. ${\displaystyle F_{\mu \nu },}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$$ ${\displaystyle g}$

Al expandir y utilizar la notación de barra de Feynman , el lagrangiano se puede escribir esquemáticamente en una forma más elegante. ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi }$

Calibre Lagrangiano fijo

Si bien esta expresión es matemáticamente elegante, con una invariancia manifiesta a las transformaciones de calibre, para los cálculos perturbativos es necesario fijar un calibre. El procedimiento de fijación de calibre fue desarrollado por Faddeev y Popov . Requiere la introducción de campos fantasma que se valoran en Después del procedimiento de fijación de calibre, se escribe el lagrangiano ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu })^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi -{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }(D_{\mu }c)^{a}}$

¿Dónde está el parámetro de fijación del calibre? La elección se conoce como calibre de Feynman . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$

Después de expandir la curvatura y las derivadas covariantes, las reglas de Feynman para QCD se pueden derivar a través de métodos de integral de trayectoria .

Todos los diagramas de un bucle 1PI (interacción entre partículas) en QCD que contribuyen a las energías propias de los quarks o gluones . La integral de bucle correspondiente a cada diagrama se puede encontrar utilizando las reglas de Feynman. Las integrales se evalúan luego utilizando un esquema de regularización como la regularización dimensional.

Renormalización

Las técnicas para la renormalización de las teorías de calibración y la QCD fueron desarrolladas y llevadas a cabo por 't Hooft . Para un pequeño número de tipos de partículas (tipos de quarks), la QCD tiene una función beta negativa y, por lo tanto, exhibe libertad asintótica .

Renormalización de un bucle

Para demostrar que la QCD es renormalizable en un orden de bucle se requiere la evaluación de integrales de bucle , que pueden derivarse de las reglas de Feynman y evaluarse utilizando regularización dimensional .

Enlaces externos

• Factorización de procesos duros en QCD

Referencias

• Peskin, ME, Schroeder, DV (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos. Westview Press.