El ajuste por mínimos cuadrados es un modelo para la solución de un sistema de ecuaciones sobredeterminado basado en el principio de mínimos cuadrados de los residuos de observación . Se utiliza ampliamente en las disciplinas de topografía , geodesia y fotogrametría (el campo de la geomática , en conjunto).
Formulación
Hay tres formas de ajuste de mínimos cuadrados: paramétrico , condicional y combinado :
- En el ajuste paramétrico , se puede encontrar una ecuación de observación h ( X ) = Y que relaciona las observaciones Y explícitamente en términos de los parámetros X (lo que conduce al modelo A a continuación).
- En el ajuste condicional , existe una ecuación de condición que es g ( Y ) = 0 que involucra solo las observaciones Y (lo que conduce al modelo B a continuación), sin ningún parámetro X.
- Finalmente, en un ajuste combinado , tanto los parámetros X como las observaciones Y están involucrados implícitamente en una ecuación de modelo mixto f ( X , Y ) = 0 .
Claramente, los ajustes paramétricos y condicionales corresponden al caso combinado más general cuando f ( X , Y ) = h ( X ) - Y y f ( X , Y ) = g ( Y ) , respectivamente. Sin embargo, los casos especiales justifican soluciones más simples, como se detalla a continuación. A menudo en la literatura, Y puede denotarse L .
Solución
Las igualdades anteriores solo se cumplen para los parámetros estimados y las observaciones , por lo tanto . Por el contrario, las observaciones medidas y los parámetros aproximados producen un cierre erróneo distinto de cero :
Se puede proceder a la expansión de las ecuaciones en serie de Taylor , lo que da como resultado los jacobianos o matrices de diseño : el primero,
y el segundo,
El modelo linealizado se lee entonces:
donde son correcciones de parámetros estimados a los valores a priori , y son residuos de observación posteriores al ajuste .
En el ajuste paramétrico, la segunda matriz de diseño es una identidad, B = - I , y el vector de cierre incorrecto puede interpretarse como los residuos previos al ajuste, , por lo que el sistema se simplifica a:
que está en forma de mínimos cuadrados ordinarios . En el ajuste condicional, la primera matriz de diseño es nula, A = 0 . Para los casos más generales, se introducen multiplicadores de Lagrange para relacionar las dos matrices jacobianas y transformar el problema de mínimos cuadrados restringido en uno sin restricciones (aunque más grande). En cualquier caso, su manipulación conduce a los vectores y , así como a los respectivos parámetros y observaciones, matrices de covarianza a posteriori .
Cálculo
Dadas las matrices y vectores anteriores, su solución se encuentra a través de métodos estándar de mínimos cuadrados; por ejemplo, formando la matriz normal y aplicando la descomposición de Cholesky , aplicando la factorización QR directamente a la matriz jacobiana, métodos iterativos para sistemas muy grandes, etc.
Ejemplos resueltos
Aplicaciones
Conceptos relacionados
Extensiones
Si se encuentra una deficiencia de rango , a menudo se puede rectificar mediante la inclusión de ecuaciones adicionales que imponen restricciones a los parámetros y/o las observaciones, lo que conduce a mínimos cuadrados restringidos .
Referencias
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