Pozo de drenaje de Ellis

Modelo matemático de un agujero de gusano

El pozo de Ellis es el modelo matemático completo más antiguo conocido de un agujero de gusano atravesable . Es una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein aumentada mediante la inclusión de un campo escalar mínimamente acoplado a la geometría del espacio-tiempo con polaridad de acoplamiento opuesta a la polaridad ortodoxa (negativa en lugar de positiva): ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {R} }\,g_{\mu \nu }=-2\,\left(\phi _{,\mu }\phi _{,\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}\phi ^{,\kappa }\phi _{,\kappa }\,g_{\mu \nu }\right)\,.}$

Descripción general

La solución fue encontrada en 1969 (fecha de la primera presentación) por Homer G. Ellis, ^{[1] [a]} e independientemente alrededor de la misma época por Kirill A. Bronnikov. ^[2] Bronnikov señaló que un análogo bidimensional de la topología de la solución es un hiperboloide de una hoja, y que solo el uso de la polaridad de acoplamiento antiortodoxa permitiría una solución con tal topología. Ellis, cuya motivación era encontrar un reemplazo no singular para el modelo de Schwarzschild de una partícula gravitatoria elemental, demostró que solo la polaridad antiortodoxa serviría, pero encontró todas las soluciones para cualquiera de las polaridades, al igual que Bronnikov. Estudió la geometría de la variedad de soluciones para la polaridad antiortodoxa en considerable profundidad y descubrió que era

• compuesto de dos regiones tridimensionales asintóticamente planas unidas en una biesfera (el 'agujero de drenaje'),
• libre de singularidad ,
• desprovisto de horizontes de eventos unidireccionales ,
• geodésicamente completo
• gravitacionalmente atractivo en un lado del orificio de drenaje y más fuertemente repulsivo en el otro,
• equipado con un campo vectorial temporal que interpretó como el campo de velocidad de un 'éter' que fluye desde
  el reposo en el infinito en el lado atractivo, hacia abajo en el orificio de drenaje y hacia afuera hasta el infinito en el
  lado repulsivo, 'creando' (o respondiendo a) la gravedad acelerando todo el camino, y
• atravesable a través del orificio de drenaje en cualquier dirección por fotones y partículas de prueba .

Un artículo de Chetouani y Clément dio el nombre de "geometría de Ellis" al caso especial de un agujero de drenaje en el que no fluye éter y no hay gravedad, al igual que una carta de Clément a un editor. ^{[3] [4]} Este caso especial se conoce a menudo como el " agujero de gusano de Ellis ". Cuando se considera el agujero de drenaje completo en su papel de agujero de gusano transitable prototípico, se le asigna el nombre de Bronnikov junto con el de Ellis.

1. Los textos utilizados aquí son los negativos de los que aparecen en el artículo de Ellis. ${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }}$

La solución del agujero de drenaje

Sección transversal ecuatorial del agujero de gusano de Ellis ( no agujero de drenaje), un catenoide ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Imagina dos planos euclidianos, uno encima del otro. Elige dos círculos del mismo radio, uno encima del otro, y quita sus interiores. Ahora pega los exteriores juntos en los círculos, doblando los exteriores suavemente para que no haya un borde afilado en el pegado. Si se hace con cuidado, el resultado será el catenoide que se muestra a la derecha, o algo similar. A continuación, imagina todo el espacio superior e inferior conectado lleno de un fluido que fluye sin remolinos hacia el agujero desde arriba y sale por el lado inferior, ganando velocidad en todo el camino y doblando la región inferior en una forma más cónica que la que se ve en Si imaginas llevar esta película de pantalla plana a 3D, reemplazando los planos por tres espacios euclidianos y los círculos por esferas, y piensas en el fluido como si fluyera desde todas las direcciones hacia el agujero desde arriba, y hacia abajo sin cambiar las direcciones, tendrás una idea bastante buena de lo que es un "agujero de drenaje". La descripción técnica de un pozo de drenaje como una variedad espacio-temporal la proporciona la métrica espacio-temporal publicada en 1973. ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

La solución métrica del pozo de drenaje presentada por Ellis en 1973 tiene las formas de tiempo propio (con la presencia de hecho explícita) ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f(\rho )\,c\,dt]^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f^{2}(\rho )\right]\,c^{2}dT^{2}-{\frac {1}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\end{aligned}}\,,}$

donde y ${\displaystyle \;\;d\Omega ^{2}=d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}d\varphi ^{2}\;\;}$ ${\displaystyle \;\;T=t+{\displaystyle {\frac {1}{c}}\!\int \!\!\!{\frac {f(\rho )}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho \,.}}$

La solución depende de dos parámetros, y , que satisfacen las desigualdades pero que no tienen restricciones. En términos de estos, las funciones y están dadas por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq m<n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(\rho )=-{\sqrt {1-e^{-(2\,m/n)\phi }}}}$

y

${\displaystyle r(\rho )=\textstyle {\sqrt {(\rho -m)^{2}+a^{2}}}}$ ${\displaystyle e^{(m/n)\phi }={\sqrt {\frac {(\rho -m)^{2}+a^{2}}{1-f^{2}(\rho )}}}\,,}$

En el cual

${\displaystyle \phi =\alpha (\rho )={\frac {n}{a}}\left[{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}\left({\frac {\rho -m}{a}}\right)\right]}$y ${\displaystyle \;a={\sqrt {n^{2}-m^{2}}}.}$

Los rangos de coordenadas son

${\displaystyle -\infty <t\,,T<\infty \,,\;\,-\infty <\rho <\infty \,,\;\;0<\vartheta <\pi \,,\;\;}$y ${\displaystyle \;\,-\pi <\varphi <\pi \,.}$

(Para facilitar la comparación con la solución de Schwarzschild , se ha sustituido la solución original por ) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho -m.}$

Asintóticamente, como , ${\displaystyle \rho \to \infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n/\rho \,,\;\;r(\rho )\sim \rho \,,\;\;f(\rho )\sim -{\sqrt {2m/\rho }}\,,\;\;}$y ${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \,.}$

Estos muestran, al comparar la métrica del pozo de drenaje con la métrica de Schwarzschild

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f_{\text{S}}(\rho )\,c\,dt]^{2}-r_{\text{S}}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )\right]\,c^{2}\,dT^{2}-{\frac {1}{1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r_{S}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\,,\end{aligned}}}$

donde, en unidades parcialmente ( ) geometrizadas , ${\displaystyle G=c}$

${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho \,,\;\;f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,,\;\;}$y ${\displaystyle \;\;f_{\text{S}}^{2}(\rho )=2M/\rho \,,}$

que el parámetro es el análogo del orificio de drenaje del parámetro de masa de Schwarzschild . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

Por otro lado, como , ${\displaystyle \rho \to -\infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n\pi /a\,,\;\;r(\rho )\sim -\rho e^{m\pi /a}\,,\;\;}$y ${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 1-e^{-2m\pi /a}\,.}$

El gráfico de abajo exhibe estas asintóticas, así como el hecho de que, correspondiente a (donde la métrica de Schwarzschild tiene su notorio horizonte de eventos unidireccional que separa el exterior, donde , del interior del agujero negro, donde ), alcanza un valor mínimo positivo en el cual la región "superior" (donde ) se abre a una región "inferior" más espaciosa (donde ). ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho =2M}$ ${\displaystyle \rho >2M}$ ${\displaystyle \rho <2M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho =2m}$ ${\displaystyle \rho >2m}$ ${\displaystyle \rho <2m}$

Gráfica de ${\displaystyle r}$

Gráfica de ${\displaystyle f^{2}}$

El flujo del éter

El campo vectorial genera geodésicas radiales parametrizadas por el tiempo propio , que coincide con el tiempo de coordenadas a lo largo de las geodésicas. ${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$

Como se puede inferir del gráfico de , una partícula de prueba que sigue una de estas geodésicas parte del reposo en cae hacia abajo en dirección al pozo de drenaje ganando velocidad en todo el camino, pasa a través del pozo de drenaje y sale a la región inferior todavía ganando velocidad en la dirección descendente, y llega a con ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle \rho =\infty ,}$ ${\displaystyle \rho =-\infty }$

${\displaystyle \mathrm {speed} =c|f(-\infty )|=c{\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}<c.}$

El campo vectorial en cuestión se considera el campo de velocidad de un «éter» más o menos sustancial que impregna todo el espacio-tiempo. Este éter es, en general, «algo más que un mero medio inerte para la propagación de ondas electromagnéticas; es un continuo inquieto y fluido cuyos movimientos internos relativos se nos manifiestan como gravedad. Las partículas de masa aparecen como fuentes o sumideros de este éter fluido». ^[1]

Para las geodésicas temporales en general, la ecuación radial de movimiento es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{d\tau ^{2}}}&=-\left({\frac {f^{2}}{2}}\right)^{\mathbf {\prime } }(\rho )+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\\&=-{\frac {m}{r^{2}(\rho )}}+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

De esto se desprende que

• es el 'estiramiento' del flujo de éter medido por el término que produce la atracción descendente de la gravedad, ${\displaystyle -(f^{2}/2)'(\rho )}$
• cada partícula de prueba cuya órbita desciende lo más bajo posible para caer por el orificio de drenaje, ${\displaystyle \rho =3m}$
• Hay partículas de prueba con suficiente velocidad angular para equilibrar la atracción hacia abajo, de modo que sus órbitas (las circulares en particular) están confinadas a la parte de la región superior donde , ${\displaystyle |d\Omega /d\tau |}$ ${\displaystyle \rho >3m}$
• La atracción hacia abajo produce en la región superior una aceleración hacia el orificio de drenaje, es decir, una gravedad atractiva, pero en la región inferior una aceleración que se aleja del orificio de drenaje, es decir, una gravedad repulsiva.
• la tracción descendente alcanza su máximo donde es un mínimo, es decir, en la 'garganta' del orificio de drenaje donde , y ${\displaystyle r(\rho )}$ ${\displaystyle \rho =2m}$
• si una partícula de prueba puede permanecer en reposo (con ) en cualquier lugar del espacio. (Este es el caso especial del agujero de drenaje no gravitacional conocido como el agujero de gusano de Ellis ). ${\displaystyle m=0,}$ ${\displaystyle d\rho /d\tau =d\Omega /d\tau =0}$

Transitabilidad

De la ecuación radial de movimiento se desprende claramente que las partículas de prueba que parten de cualquier punto de la región superior sin velocidad radial ( ) caerán, sin una velocidad angular suficiente , a través del orificio de drenaje hacia la región inferior. No está tan claro, pero es cierto, que una partícula de prueba que parte de un punto de la región inferior puede, con una velocidad ascendente suficiente, pasar a través del orificio de drenaje hacia la región superior. Por lo tanto, el orificio de drenaje es "atravesable" por partículas de prueba en ambas direcciones. Lo mismo se aplica a los fotones. ${\displaystyle d\rho /d\tau =0}$ ${\displaystyle d\Omega /d\tau }$

Se puede encontrar un catálogo completo de geodésicas del pozo de drenaje en el artículo de Ellis. ^[1]

Ausencia de horizontes y singularidades; completitud geodésica

Para una métrica de la forma general de la métrica del pozo de drenaje, con como el campo de velocidad de un éter que fluye, se encuentra que las velocidades de coordenadas de las geodésicas nulas radiales son para las ondas de luz que viajan contra el flujo del éter, y para las ondas de luz que viajan a favor del flujo. Dondequiera que , de modo que , las ondas de luz que luchan contra el flujo del éter pueden ganar terreno. Por otro lado, en lugares donde las ondas de luz corriente arriba pueden, en el mejor de los casos, mantenerse por sí mismas (si ), o de lo contrario ser arrastradas corriente abajo hacia donde sea que vaya el éter (si ). (Esta situación se describe en broma por: "La gente en canoas ligeras debe evitar los rápidos etéreos". ^[1] ) ${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle d\rho /dt}$ ${\displaystyle c(f(\rho )+1)}$ ${\displaystyle c(f(\rho )-1)}$ ${\displaystyle f(\rho )>-1}$ ${\displaystyle c(f(\rho )+1)>0}$ ${\displaystyle f(\rho )\leq -1}$ ${\displaystyle f(\rho )=-1}$ ${\displaystyle f(\rho )<-1}$

La última situación se observa en la métrica de Schwarzschild, donde , que está en el horizonte de eventos de Schwarzschild donde , y menos que dentro del horizonte donde . ${\displaystyle \textstyle f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho =2M}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \rho <2M}$

Por el contrario, en el desagüe y , para cada valor de , en ninguna parte hay un horizonte en un lado del cual las ondas de luz que luchan contra el flujo de éter no puedan ganar terreno. ${\displaystyle \textstyle f^{2}(\rho )<1-e^{-2m\pi /a}<1}$ ${\displaystyle \textstyle f(\rho )=-\left[f^{2}(\rho )\right]^{1/2}>-1}$ ${\displaystyle \rho }$

Porque

• ${\displaystyle r}$y se definen en toda la línea real, y ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle r}$está delimitado por ), y ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r(2m)}$
• ${\displaystyle f^{2}}$está delimitado por (por ), ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}}$

La métrica de los pozos de drenaje no incluye ni una 'singularidad de coordenadas' donde ni una 'singularidad geométrica' donde , ni siquiera las asintóticas. Por las mismas razones, toda geodésica con una órbita no ligada, y con algún argumento adicional toda geodésica con una órbita ligada, tiene una parametrización afín cuyo parámetro se extiende desde hasta . La variedad de pozos de drenaje es, por lo tanto, geodésicamente completa . ${\displaystyle 1-f^{2}(\rho )\to 0}$ ${\displaystyle r(\rho )\to 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Fuerza de repulsión

Como se vio anteriormente, el estiramiento del flujo de éter produce en la región superior una aceleración descendente de las partículas de prueba que, junto con como , se identifica como la masa gravitacional atractiva de la partícula del pozo de drenaje no localizada. En la región inferior, la aceleración descendente es formalmente la misma, pero debido a que es asintótica a en lugar de a como , no se puede inferir que la masa gravitacional repulsiva de la partícula del pozo de drenaje sea . ${\displaystyle -m/r^{2}(\rho )}$ ${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r(\rho )}$ ${\displaystyle -\rho e^{m\pi /a}}$ ${\displaystyle -\rho }$ ${\displaystyle \rho \to -\infty }$ ${\displaystyle -m}$

Para conocer la masa repulsiva del pozo de drenaje es necesario encontrar una isometría del colector del pozo de drenaje que intercambie las regiones superior e inferior. Dicha isometría se puede describir de la siguiente manera: Sea el colector del pozo de drenaje cuyos parámetros son y , y sea el colector del pozo de drenaje cuyos parámetros son y , donde ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle {\bar {m}}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}}$

${\displaystyle {\bar {m}}=-me^{m\pi /a}}$

y

${\displaystyle \;\;{\bar {n}}=ne^{m\pi /a}.}$

La isometría identifica el punto de coordenadas con el punto de coordenadas . De ello se infiere que y son de hecho la misma variedad, y que la región inferior ahora está disfrazada como la región superior donde , tiene como masa gravitatoria, por lo que repele gravitacionalmente las partículas de prueba con más fuerza de la que las atrae la verdadera región superior, en la proporción . ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle [T,\rho ,\vartheta ,\varphi ]}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle [{\bar {T}},{\bar {\rho }},{\bar {\vartheta }},{\bar {\varphi }}]=[Te^{-m\pi /a},-\rho e^{m\pi /a},\vartheta ,\varphi ]}$ ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle \rho \to -\infty ,}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$ ${\displaystyle {\bar {m}}}$ ${\displaystyle \,|{\bar {m}}|/|m|=-{\bar {m}}/m=e^{m\pi /a}>1}$

Planitud asintótica

Que el orificio de drenaje es asintóticamente plano como se ve a partir del comportamiento asintótico y Que es asintóticamente plano como se ve a partir del comportamiento correspondiente como después de la isometría entre y descrita anteriormente. ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$ ${\displaystyle f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \sim 0.}$ ${\displaystyle \rho \to -\infty }$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$ ${\displaystyle M_{m,n}}$ ${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$

El parámetronorte

A diferencia del parámetro , interpretado como la masa gravitacional atractiva del pozo de drenaje, el parámetro no tiene una interpretación física obvia. Básicamente, fija tanto el radio de la garganta del pozo de drenaje, que aumenta de cuando a como y la energía del campo escalar que disminuye de cuando a como . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r(2m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle ne}$ ${\displaystyle m\to n,}$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle n\pi /2}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle m\to n}$

Por las razones expuestas en la sección 6.1 de un artículo de 2015, ^[5] Ellis sugiere que se especifica de alguna manera la masa inercial de la partícula modelada por el agujero de drenaje. Escribe además que una "forma ' higgsiana ' de expresar esta idea es decir que el agujero de drenaje 'adquiere' masa (inercial) del campo escalar ". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$

Solicitud

Al rechazar la suposición injustificada de Einstein de 1916 de que la masa inercial es una fuente de gravedad, Ellis llega a nuevas y mejoradas ecuaciones de campo, una solución de las cuales es un modelo cosmológico que se ajusta bien a las observaciones de supernovas que en 1998 revelaron la aceleración de la expansión del universo. ^[5] En estas ecuaciones hay dos campos escalares mínimamente acoplados a la geometría del espacio-tiempo con polaridades opuestas. La " constante cosmológica " es reemplazada por una densidad repulsiva neta de materia gravitante debido a la presencia de "túneles" de drenaje primordiales y la creación continua de nuevos túneles, cada uno con su exceso de repulsión sobre atracción. Esos túneles de drenaje asociados con partículas de materia visible proporcionan su gravedad; aquellos que no están ligados a la materia visible son la " materia oscura " invisible. La " energía oscura " es la densidad repulsiva neta de todos los túneles de drenaje. El modelo cosmológico tiene un " gran rebote " en lugar de un "big bang", una aceleración inflacionaria a partir del rebote y una transición suave a una era de desaceleración progresiva, seguida en última instancia por un retorno a una expansión exponencial tipo De Sitter . ${\displaystyle \Lambda }$

Otras aplicaciones

• El agujero de gusano de Ellis sirvió como punto de partida para construir el agujero de gusano transitable que aparece en la película Interstellar de 2014 (aunque el modelo que se utilizó al final difirió significativamente). ^[6]
• Dispersión por un agujero de gusano de Ellis ^[7]
• Efecto de lente espacial ( no efecto de lente gravitacional , ya que no hay gravedad) en el agujero de gusano de Ellis
  • Microlente mediante el agujero de gusano de Ellis ^[8]
  • Efecto de onda en la lente del agujero de gusano de Ellis ^[9]
  • Desplazamientos del centroide de la imagen debido a la microlente del agujero de gusano de Ellis ^[10]
  • Ecuación de lente exacta para el agujero de gusano de Ellis ^[11]
  • Efecto lente por agujeros de gusano ^{[12] [13]}

Referencias

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2. KA Bronnikov (1973). "Teoría escalar-tensor y carga escalar". Acta Physica Polonica . B4 : 251–266.
3. L. Chetouani y G. Clément (1984). "Óptica geométrica en la geometría de Ellis". Relatividad general y gravitación . 16 (2): 111–119. Código Bibliográfico :1984GReGr..16..111C. doi :10.1007/BF00762440. S2CID  123418315.
4. G. Clément (1989). "La geometría de Ellis (carta al editor)". American Journal of Physics . 57 (11): 967. Bibcode :1989AmJPh..57..967H. doi :10.1119/1.15828.
5. HG Ellis (2015). "Cosmología sin la suposición de Einstein de que la masa inercial produce gravedad". Revista Internacional de Física Moderna D . 24 (8): 1550069–1–38. arXiv : gr-qc/0701012 . Código Bibliográfico :2015IJMPD..2450069E. doi :10.1142/s0218271815500698. S2CID  119077718.
6. O. James; E. von Tunzelmann; P. Franklin; KS Thorne (2015). "Visualización del agujero de gusano de Interstellar ". American Journal of Physics . 83 (6): 486–499. arXiv : 1502.03809 . Código Bibliográfico :2015AmJPh..83..486J. doi :10.1119/1.4916949. S2CID  37645924.
7. G. Clément (1984). "Dispersión de ondas de Klein-Gordon y Maxwell mediante una geometría de Ellis". Revista Internacional de Física Teórica . 23 (4): 335–350. Código Bibliográfico :1984IJTP...23..335C. doi :10.1007/bf02114513. S2CID  120826946.
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