Adjunción monoidal

Supóngase que y son dos categorías monoidales . Una adjunción monoidal entre dos funtores monoidales laxos ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$y ${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,J)\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$

es una adjunción entre los funtores subyacentes, de modo que las transformaciones naturales ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\Rightarrow G\circ F}$y ${\displaystyle \varepsilon :F\circ G\Rightarrow 1_{\mathcal {D}}}$

son transformaciones naturales monoidales .

Elevación de adjuntos a adjuntos monoidales

Supongamos que

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

es un funtor monoidal laxo tal que el funtor subyacente tiene un adjunto derecho . Esta adjuntación se eleva a una adjuntación monoidal ⊣ si y solo si el funtor monoidal laxo es fuerte. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F,m)}$ ${\displaystyle (G,n)}$ ${\displaystyle (F,m)}$

Véase también

• Cada adjunción monoidal ⊣ define una mónada monoidal . ${\displaystyle (F,m)}$ ${\displaystyle (G,n)}$ ${\displaystyle G\circ F}$

Referencias