Descomposición aditiva de estados

La descomposición de estados aditiva ocurre cuando un sistema se descompone en dos o más subsistemas con la misma dimensión que la del sistema original. ^[1]^[2] Una descomposición que se usa comúnmente en el campo del control es la descomponer un sistema en dos o más subsistemas de orden inferior, llamada aquí descomposición de subsistemas de orden inferior. Por el contrario, la descomposición de estados aditiva consiste en descomponer un sistema en dos o más subsistemas con la misma dimensión que la del sistema original. ^[3]

Tomando como ejemplo un sistema $P$ , se descompone en dos subsistemas: $P p$ y $P s$ , donde $dim(P p) = n p$ y $dim(P s) = n s$ , respectivamente. La descomposición del subsistema de orden inferior satisface

n=n_{p}+n_{s}{\text{ y }}P=P_{p}\omás P_{s}

Por el contrario, la descomposición aditiva de estados satisface

n=n_{p}=n_{s}{\text{ y }}P=P_{p}+P_{s}

Sobre un sistema de control dinámico

Consideremos un sistema “original” como el siguiente:

dónde . $x\in \mathbb {R} ^{n}$

En primer lugar, se introduce un sistema “primario”, que tiene la misma dimensión que el sistema original:

dónde $x_{p}\in \mathbb {R} ^{n}.$

Del sistema original y del sistema primario se deriva el siguiente sistema 'secundario':

{\dot {x}}-{\dot {x}}_{p}=f(t,x,u)-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x(0)=x_{0}

Las nuevas variables se definen de la siguiente manera: $x_{s}\in \mathbb {R} ^{n}$

Luego el sistema secundario puede escribirse de la siguiente manera:

De la definición ( 3 ), se deduce

x(t)=x_{p}(t)+x_{s}(t),

t\geq 0.

El proceso se muestra en esta imagen:

Ejemplos

Ejemplo 1

De hecho, la idea de la descomposición aditiva de estados se ha mencionado implícitamente en la literatura existente. Un ejemplo existente es el diseño del controlador de seguimiento, que a menudo requiere un sistema de referencia para derivar la dinámica de errores. Se supone que el sistema de referencia (sistema primario) se da de la siguiente manera:

{\dot {x}}_{r}=f(t,x_{r},u_{r}),

x_{r}(0)=x_{r,0}

Con base en el sistema de referencia, la dinámica de errores (sistema secundario) se deriva de la siguiente manera:

{\dot {x}}_{e}=f(t,x_{e}+x_{r},u)-f(t,x_{r},u_{r}),

x_{e}(0)=x_{0}-x_{r,0}

dónde $x_{e}=x-x_{r}$

Este es un paso comúnmente utilizado para transformar un problema de seguimiento en un problema de estabilización cuando se utiliza el control adaptativo.

Ejemplo 2

Consideremos una clase de sistemas como la siguiente:

Elija ( 5 ) como el sistema original y diseñe el sistema primario de la siguiente manera:

Entonces el sistema secundario queda determinado por la regla ( 4 ):

Por descomposición aditiva de estados

e(t)=e_{p}(t)+e_{s}(t)

Desde

\|e(t)\|\leq \|e_{p}(t)\|+\|e_{s}(t)\|

El error de seguimiento $e (t)$ se puede analizar por separado mediante $e p (t)$ y $e s (t) . Si$ $e p (t)$ y $e s (t)$ están acotados y son pequeños, entonces también lo es $e (t)$ . Afortunadamente, nótese que ( 6 ) es un sistema lineal invariante en el tiempo y es independiente del sistema secundario ( 7 ), para cuyo análisis se dispone de muchas herramientas como la función de transferencia. Por el contrario, la herramienta de la función de transferencia no se puede aplicar directamente al sistema original ( 5 ) ya que varía en el tiempo.

Ejemplo 3

Consideremos una clase de sistemas no lineales como la siguiente:

donde $x, y, u$ representan el estado, la salida y la entrada, respectivamente; la función $φ (•)$ no es lineal. El objetivo es diseñar $u$ de manera que $y - r \to 0$ cuando $t \to \infty$ . Elija ( 8 ) como el sistema original y diseñe el sistema primario de la siguiente manera:

Entonces el sistema secundario queda determinado por la regla ( 4 ):

donde $u s = u p$ . Entonces $x = x p + x s$ y $y = y p + y s$ . Aquí, la tarea $y p \to 0$ se asigna al sistema lineal invariante en el tiempo ( 9 ) (un sistema lineal invariante en el tiempo es más simple que uno no lineal). Por otro lado, la tarea $x s \to 0$ se asigna al sistema no lineal ( 10 ) (un problema de control estabilizador es más simple que un problema de seguimiento). Si se cumplen las dos tareas, entonces $y = y p + y s \to 0$ . La idea básica es descomponer un sistema original en dos subsistemas encargados de subtareas más simples. Luego, se diseñan controladores para dos subtareas y, finalmente, se combinan para lograr la tarea de control original. El proceso se muestra en esta imagen:

Comparación con el principio de superposición

Un ejemplo bien conocido que utiliza de forma implícita la descomposición aditiva de estados es el principio de superposición, ampliamente utilizado en física e ingeniería.
El principio de superposición establece lo siguiente: Para todos los sistemas lineales, la respuesta neta en un lugar y tiempo determinados causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habrían sido causadas por cada estímulo individualmente. Para un sistema lineal simple:

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})

x(0)=0

El enunciado del principio de superposición significa $x = x p + x s$ , donde

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+Bu_{1},x_{p}(0)=0

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+Bu_{2},x_{s}(0)=0

Obviamente, este resultado también se puede derivar de la descomposición aditiva de estados. Además, el principio de superposición y la descomposición aditiva de estados tienen la siguiente relación. De la Tabla 1, la descomposición aditiva de estados se puede aplicar no solo a sistemas lineales sino también a sistemas no lineales.

Aplicaciones

La descomposición de estado aditiva se utiliza para estabilizar el control ^[4] y se puede extender a la descomposición de salida aditiva. ^[5]

Referencias

^ Olof Staffans (24 de febrero de 2005). Well-Posed Linear Systems . Cambridge University Press. pp. 13–. ISBN 978-0-521-82584-9.
^ Proporcionar calidad de servicio en entornos heterogéneos. Elsevier. pp. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.
^ David Eisenbud (1 de julio de 1999). Álgebra conmutativa, geometría algebraica y métodos computacionales. Springer Singapur. pp. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.
^ Quan Quan, Guangxun Du, Kai-Yuan Cai. "Control estabilizado por inversión dinámica mediante descomposición de estado aditivo para una clase de sistemas MIMO inciertos", https://arxiv.org/abs/1211.6821
^ Quan Quan, Kai-Yuan Cai. "Control de seguimiento de inversión dinámica basado en descomposición de salida aditiva para una clase de sistemas lineales invariantes en el tiempo e inciertos", 51.ª Conferencia IEEE sobre decisiones y control, 2012, Maui, Hawái, EE. UU., 2866–2871.

Lectura adicional

Quan, Quan y Kai-Yuan Cai (2009). "Descomposición aditiva y sus aplicaciones al seguimiento basado en modelos internos". 48.ª Conferencia conjunta del IEEE sobre decisiones y control y 28.ª Conferencia china sobre control , Shanghái, China. 817–822.
Quan Quan, Hai Lin, Kai-Yuan Cai (2014). "Control de seguimiento de retroalimentación de salida mediante descomposición de estado aditiva para una clase de sistemas inciertos", International Journal of Systems Science 45 (9): 1799–1813.
Quan Quan, Kai-Yuan Cai, Hai Lin (2015). "Marco de control de seguimiento basado en descomposición de estado aditivo para una clase de sistemas de fase no mínima con no linealidades mensurables y perturbaciones desconocidas", International Journal of Robust and Nonlinear Control 25 (2):163–178
Quan Quan, Lu Jiang, Kai-Yuan Cai. "Control repetitivo robusto con retroalimentación de salida en tiempo discreto para una clase de sistemas no lineales mediante descomposición de estados aditivos"