Bono sin riesgo

Instrumento financiero teórico

Un bono libre de riesgo es un bono teórico que devuelve intereses y capital con absoluta certeza. La tasa de retorno sería la tasa de interés libre de riesgo . Es un título primario, que paga 1 unidad sin importar el estado de la economía en el que se encuentre en ese momento . Por lo tanto, su rendimiento es el mismo independientemente de qué estado se produzca. Por lo tanto, un inversor no corre ningún riesgo al invertir en un activo de este tipo. ${\displaystyle t+1}$

En la práctica, los bonos gubernamentales de países financieramente estables se tratan como bonos libres de riesgo, ya que los gobiernos pueden aumentar los impuestos o incluso imprimir dinero para pagar su deuda en moneda nacional. ^[1]

Por ejemplo, a menudo se supone que los bonos y las notas del Tesoro de los Estados Unidos son bonos libres de riesgo. ^[2] Aunque los inversores en títulos del Tesoro de los Estados Unidos se enfrentan de hecho a una pequeña cantidad de riesgo crediticio , ^[3] este riesgo se considera a menudo insignificante. Un ejemplo de este riesgo crediticio lo mostró Rusia, que dejó de pagar su deuda interna durante la crisis financiera rusa de 1998 .

Modelización del precio mediante el modelo de Black-Scholes[4]

En la literatura financiera, no es raro derivar la fórmula de Black-Scholes introduciendo una cartera libre de riesgo continuamente reequilibrada que contiene una opción y acciones subyacentes. En ausencia de arbitraje , el rendimiento de dicha cartera debe ser igual al de los bonos libres de riesgo. Esta propiedad conduce a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes que se satisface con el precio de arbitraje de una opción. Sin embargo, parece que la cartera libre de riesgo no satisface la definición formal de una estrategia de autofinanciación y, por lo tanto, esta forma de derivar la fórmula de Black-Scholes es errónea.

Suponemos que las transacciones se llevan a cabo de forma continua en el tiempo y que es posible pedir y prestar fondos sin restricciones a la misma tasa de interés constante. Además, el mercado no tiene fricciones, es decir, no hay costos de transacción ni impuestos, y no hay discriminación contra las ventas en corto. En otras palabras, abordaremos el caso de un mercado perfecto .

Supongamos que la tasa de interés a corto plazo es constante (pero no necesariamente no negativa) durante el intervalo de negociación . Se supone que el valor del título libre de riesgo aumenta continuamente a la tasa ; es decir, . Adoptamos la convención habitual de que , de modo que su precio es igual para cada . Cuando se trabaja con el modelo de Black-Scholes , podemos sustituir igualmente la cuenta de ahorros por el bono libre de riesgo . Un bono cupón cero unitario que vence en el tiempo es un título que paga a su tenedor 1 unidad de efectivo en una fecha predeterminada en el futuro, conocida como la fecha de vencimiento del bono . Sea 1 el precio en el tiempo de un bono que vence en el tiempo . Se ve fácilmente que para replicar el pago 1 en el tiempo es suficiente invertir unidades de efectivo en el tiempo en la cuenta de ahorros . Esto demuestra que, en ausencia de oportunidades de arbitraje, el precio del bono satisface ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,T^{*}]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle dB_{t}=rB_{t}~dt}$ ${\displaystyle B_{0}=1}$ ${\displaystyle B_{t}=e^{rt}}$ ${\displaystyle t\in [0,T^{*}]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B(t,T)}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B_{t}/B_{T}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.}$

Nótese que para cualquier T fijo, el precio del bono resuelve la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.}$

Consideramos aquí un bono libre de riesgo , es decir que su emisor no incumplirá su obligación de pagar al tenedor del bono el valor nominal en la fecha de vencimiento.

Bono libre de riesgo vs. título Arrow-Debreu[5]

El bono libre de riesgo puede ser replicado por una cartera de dos valores Arrow-Debreu . Esta cartera coincide exactamente con el pago del bono libre de riesgo ya que la cartera también paga 1 unidad independientemente de qué estado ocurra. Esto se debe a que si su precio fuera diferente al del bono libre de riesgo, tendríamos una oportunidad de arbitraje presente en la economía. Cuando existe una oportunidad de arbitraje, significa que se pueden obtener ganancias sin riesgo mediante alguna estrategia comercial. En este caso específico, si la cartera de valores Arrow-Debreu difiere en precio del precio del bono libre de riesgo, entonces la estrategia de arbitraje sería comprar el de menor precio y vender en corto el de mayor precio. Dado que cada uno tiene exactamente el mismo perfil de pago, esta operación nos dejaría con un riesgo neto cero (el riesgo de uno cancela el riesgo del otro porque hemos comprado y vendido en cantidades iguales el mismo perfil de pago). Sin embargo, obtendríamos una ganancia porque estamos comprando a un precio bajo y vendiendo a un precio alto. Como no pueden existir condiciones de arbitraje en una economía, el precio del bono libre de riesgo es igual al precio de la cartera.

Calculando el precio[5]

El cálculo está relacionado con un título Arrow-Debreu. Llamemos al precio del bono libre de riesgo en el momento . El se refiere al hecho de que el bono vence en el momento . Como se mencionó anteriormente, el bono libre de riesgo se puede replicar mediante una cartera de dos títulos Arrow-Debreu, una acción de y una acción de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P(t,t+1)}$ ${\displaystyle t+1}$ ${\displaystyle t+1}$ ${\displaystyle A(1)}$ ${\displaystyle A(2)}$

Utilizando la fórmula para el precio de un título Arrow-Debreu ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n}$

que es un producto de la relación entre la tasa marginal de sustitución intertemporal (la relación de utilidades marginales a lo largo del tiempo, también se conoce como densidad de precios del estado y núcleo de precios ) y la probabilidad de que ocurra un estado en el que el valor Arrow-Debreu pague 1 unidad. El precio de la cartera es simplemente

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}}$

${\displaystyle P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

Por lo tanto, el precio de un bono libre de riesgo es simplemente el valor esperado , tomado con respecto a la medida de probabilidad , de la tasa marginal de sustitución intertemporal. La tasa de interés , ahora se define utilizando el recíproco del precio del bono. ${\displaystyle \mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle 1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}}$

Por lo tanto, tenemos la relación fundamental

${\displaystyle {\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

que define la tasa de interés en cualquier economía.

Ejemplo

Supongamos que la probabilidad de que ocurra el estado 1 es 1/4, mientras que la probabilidad de que ocurra el estado 2 es 3/4. Supongamos también que el núcleo de fijación de precios es igual a 0,95 para el estado 1 y 0,92 para el estado 2. ^[5]

Sea el núcleo de precios el que se denota como . Entonces tenemos dos valores Arrow-Debreu con parámetros ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle A(1),~A(2)}$

${\displaystyle p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0.95~,}$

${\displaystyle p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~.}$

Luego, utilizando las fórmulas anteriores, podemos calcular el precio del bono.

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.}$

La tasa de interés entonces viene dada por

${\displaystyle r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0.9275}}-1=7.82\%~.}$

Así, vemos que la fijación de precios de un bono y la determinación del tipo de interés es sencilla de realizar una vez que se conoce el conjunto de precios de Arrow-Debreu, es decir, los precios de los títulos de Arrow-Debreu.

Véase también

• Tasa de interés sin riesgo
• Lista de temas de economía
• Modelo de Black-Scholes
• Seguridad de Arrow-Debreu

Referencias

1. "KBC de Bélgica abandona la práctica de "libre riesgo" en materia de bonos soberanos - FT.com". Archivado desde el original el 10 de diciembre de 2022.
2. "Activo libre de riesgo". Investopedia . investopedia.com . Consultado el 1 de marzo de 2016 .
3. Mattia, Laura (25 de febrero de 2014). "¿Cree que los bonos están libres de riesgo? Piénselo de nuevo". abcnews.go.com . ABC . Consultado el 1 de marzo de 2016 .
4. Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (21 de enero de 2006). Métodos de martingala en modelos financieros. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9783540266532.
5. Baz, Jamil; Chacko, George (12 de enero de 2004). Derivados financieros: fijación de precios, aplicaciones y matemáticas. Cambridge University Press. ISBN 9780521815109.