Método de dominio ficticio

En matemáticas , el método del dominio ficticio es un método para encontrar la solución de una ecuación diferencial parcial en un dominio complicado , sustituyendo un problema dado planteado en un dominio , por un nuevo problema planteado en un dominio simple que contiene . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$

Formulación general

Supongamos que en algún área queremos encontrar la solución de la ecuación : ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}$

con condiciones de contorno :

${\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D}$

La idea básica del método de dominios ficticios es sustituir un problema dado planteado en un dominio , por un nuevo problema planteado en un dominio de forma simple que contenga ( ). Por ejemplo, podemos elegir un paraleletopo n -dimensional como . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D\subset \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Problema en el dominio extendido para la nueva solución : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega }$

${\displaystyle l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }$

Es necesario plantear el problema en el área extendida para que se cumpla la siguiente condición:

${\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D}$

Ejemplo sencillo, problema unidimensional

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$

${\displaystyle u(0)=0,u(1)=0}$

Prolongación por coeficientes principales

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$Solución del problema:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$

Coeficiente discontinuo y parte derecha de la ecuación anterior la obtenemos de las expresiones: ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)}$

Condiciones de contorno:

${\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0}$

Condiciones de conexión en el punto : ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle [u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

donde significa: ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)}$

La ecuación (1) tiene solución analítica por lo tanto podemos obtener fácilmente el error:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$

Prolongación por coeficientes de orden inferior

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$Solución del problema:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$

Donde tomamos lo mismo que en (3), y expresión para ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}}$

Las condiciones de contorno para la ecuación (4) son las mismas que para (2).

Condiciones de conexión en el punto : ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

Error:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$

Literatura

• PN Vabishchevich, El método de los dominios ficticios en problemas de física matemática, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Método de dominio ficticio para la ecuación de Navier-Stokes, Preimpresión CC SA URSS, 68, 1979.
• Bugrov AN, Smagulov S. Método de dominio ficticio para la ecuación de Navier-Stokes, Modelo matemático del flujo de fluidos, Novosibirsk, 1978, pág. 79-90