Dominio lexicográfico

Propiedad estadística

La dominancia lexicográfica es un orden total entre variables aleatorias . Es una forma de ordenación estocástica . Se define de la siguiente manera. ^{[1] : 8} La variable aleatoria A tiene dominancia lexicográfica sobre la variable aleatoria B (denotada ) si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle A\succ _{ld}B}$

• A tiene una mayor probabilidad que B de obtener el mejor resultado.
• A y B tienen la misma probabilidad de recibir el mejor resultado, pero A tiene una mayor probabilidad de recibir el segundo mejor resultado.
• A y B tienen la misma probabilidad de recibir el mejor y el segundo mejor resultado, pero A tiene una mayor probabilidad de recibir el tercer mejor resultado.

En otras palabras: sea k el primer índice para el cual la probabilidad de recibir el k-ésimo mejor resultado es diferente para A y B. Entonces esta probabilidad debería ser mayor para A.

Variantes

El dominio lexicográfico ascendente se define de la siguiente manera. ^[2] La variable aleatoria A tiene dominio lexicográfico ascendente sobre la variable aleatoria B (denotada como ) si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle A\succ _{ul}B}$

• A tiene una probabilidad menor que B de recibir el peor resultado.
• A y B tienen la misma probabilidad de recibir el peor resultado, pero A tiene una menor probabilidad de recibir el segundo peor resultado.
• A y B tienen la misma probabilidad de recibir el peor y el segundo peor resultado, pero A tiene una menor probabilidad de recibir el tercer peor resultado.

Para distinguir entre las dos nociones, la noción de dominio lexicográfico estándar a veces se denomina dominio lexicográfico descendente y se denota . ${\displaystyle A\succ _{dl}B}$

Relación con otras nociones de dominio

La dominancia estocástica de primer orden implica una dominancia lexicográfica tanto descendente como ascendente. ^[3] Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, supongamos que hay cuatro resultados clasificados z > y > x > w. Consideremos las dos loterías que asignan a z, y, x, w las siguientes probabilidades:

• A: .2, .4, .2, .2
• B: .2, .3, .4, .1

Entonces se cumple lo siguiente:

• ${\displaystyle A\succ _{dl}B}$, ya que asignan la misma probabilidad a z pero A asigna más probabilidad a y.
• ${\displaystyle B\succ _{ul}A}$, ya que B asigna menos probabilidad al peor resultado w.
• ${\displaystyle A\not \succ _{sd}B}$, ya que B asigna más probabilidad a los tres mejores resultados {z,y,x}. Si, por ejemplo, el valor de z,y,x está muy cerca de 1 y el valor de w es 0, entonces el valor esperado de B está cerca de 0,9 mientras que el valor esperado de A está cerca de 0,8.
• ${\displaystyle B\not \succ _{sd}A}$, ya que A asigna más probabilidad a los dos mejores resultados {z,y}. Si, por ejemplo, el valor de z,y es muy cercano a 1 y el valor de x,w es 0, entonces el valor esperado de B es cercano a 0,5 mientras que el valor esperado de A es cercano a 0,6.

Aplicaciones

Las relaciones de dominio lexicográfico se utilizan en la teoría de la elección social para definir nociones de estrategia a prueba , ^[2] incentivos para la participación, ^[4] eficiencia ordinal ^[3] y ausencia de envidia . ^[5]

Hosseini y Larson ^[6] analizan las propiedades de las reglas para la asignación aleatoria justa basadas en el dominio lexicográfico.

Referencias

1. Chakrabarty, Deeparnab; Swamy, Chaitanya (12 de enero de 2014). "Maximización del bienestar y veracidad en el diseño de mecanismos con preferencias ordinales". Actas de la quinta conferencia sobre innovaciones en informática teórica . ITCS '14. Nueva York, NY, EE. UU.: Association for Computing Machinery. págs. 105–120. doi :10.1145/2554797.2554810. ISBN 978-1-4503-2698-8.S2CID2428592  .​
2. Cho, Wonki Jo (1 de enero de 2016). "Propiedades de incentivo para mecanismos ordinales". Juegos y comportamiento económico . 95 : 168–177. doi :10.1016/j.geb.2015.12.003. ISSN  0899-8256.
3. Cho, Wonki Jo; Doğan, Battal (1 de septiembre de 2016). "Equivalencia de nociones de eficiencia para problemas de asignación ordinal". Economics Letters . 146 : 8–12. doi :10.1016/j.econlet.2016.07.007. ISSN  0165-1765.
4. Aziz, Haris (8 de noviembre de 2016). "Incentivos de participación en la elección social aleatoria". arXiv : 1602.02174 [cs.GT].
5. Cho, Wonki Jo (1 de junio de 2018). "Asignación probabilística: un enfoque de extensión". Elección social y bienestar . 51 (1): 137–162. doi :10.1007/s00355-018-1110-z. ISSN  1432-217X. S2CID  19700606.
6. Hadi Hosseini, Kate Larson (24 de julio de 2015). Mecanismos de cuotas a prueba de estrategias para problemas de asignación múltiple. OCLC  1106222190.