Desigualdad de Wirtinger (2 formas)

Para otras desigualdades que llevan el nombre de Wirtinger, véase desigualdad de Wirtinger .

En matemáticas, la desigualdad de Wirtinger , llamada así por Wilhelm Wirtinger , es un resultado fundamental en álgebra lineal compleja que relaciona las formas simpléctica y volumétrica de un producto interno hermítico . Tiene consecuencias importantes en geometría compleja , como mostrar que las potencias exteriores normalizadas de la forma de Kähler de una variedad de Kähler son calibraciones .

Declaración

Considérese un espacio vectorial real con producto interno definido positivo g , forma simpléctica ω y estructura casi compleja J , vinculados por ω ( u , v ) = g ( J ( u ), v ) para cualesquiera vectores u y v . Entonces, para cualesquiera vectores ortonormales v ₁ , ..., v _{2 k} hay

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.}$

Hay igualdad si y sólo si el lapso de v ₁ , ..., v _{2 k} está cerrado bajo la operación de J . ^[1]

En el lenguaje de la coma de una forma, el teorema de Wirtinger (aunque sin precisión sobre cuándo se alcanza la igualdad) también puede expresarse diciendo que la coma de la forma ω ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ω es igual a k ! . ^[1]

Prueba

k = 1

En el caso especial k = 1 , la desigualdad de Wirtinger es un caso especial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1.}$

De acuerdo con el caso de igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la igualdad ocurre si y solo si J ( v ₁ ) y v ₂ son colineales, lo que es equivalente al lapso de v ₁ , v ₂ siendo cerrado bajo J .

k > 1

Sea v ₁ , ..., v _{2 k} fijo y sea T su amplitud. Entonces existe una base ortonormal e ₁ , ..., e _{2 k} de T con base dual w ₁ , ..., w _{2 k} tal que

${\displaystyle \iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},}$

donde ι denota el mapa de inclusión de T en V. ^[2] Esto implica

${\displaystyle \underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ times}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},}$

lo que a su vez implica

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,}$

donde la desigualdad se sigue del caso k = 1 establecido previamente . Si la igualdad se cumple, entonces de acuerdo con el caso de igualdad k = 1 , debe ser el caso que ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = ±1 para cada i . Esto es equivalente a ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = 1 o ω ( e _{2 i} , e _{2 i − 1} ) = 1 , lo que en cualquier caso (del caso k = 1 ) implica que el lapso de e _{2 i − 1} , e _{2 i} es cerrado bajo J , y por lo tanto que el lapso de e ₁ , ..., e _{2 k} es cerrado bajo J .

Finalmente, la dependencia de la cantidad

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})}$

en v ₁ , ..., v _{2 k} está solo en la cantidad v ₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v _{2 k} , y a partir de la condición de ortonormalidad en v ₁ , ..., v _{2 k} , este producto de cuña está bien determinado hasta un signo. Esto relaciona el trabajo anterior con e ₁ , ..., e _{2 k} con el enunciado deseado en términos de v ₁ , ..., v _{2 k} .

Consecuencias

Dada una variedad compleja con métrica hermítica , el teorema de Wirtinger implica inmediatamente que para cualquier subvariedad incrustada de 2 k -dimensionales M , existe

${\displaystyle \operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},}$

donde ω es la forma Kähler de la métrica. Además, la igualdad se logra si y solo si M es una subvariedad compleja . ^[3] En el caso especial de que la métrica hermítica satisfaga la condición de Kähler , esto dice que ⁠1/¡ok !ω ^k es una calibración para la métrica de Riemann subyacente, y que las subvariedades calibradas correspondientes son las subvariedades complejas de dimensión compleja k . ^[4] Esto dice en particular que cada subvariedad compleja de una variedad de Kähler es una subvariedad mínima , e incluso minimiza el volumen entre todas las subvariedades en su clase de homología .

Utilizando la desigualdad de Wirtinger, estos hechos incluso se extienden al contexto más sofisticado de las corrientes en las variedades de Kähler. ^[5]

Véase también

• Desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Geometría sistólica

Notas

1. Federer 1969, Sección 1.8.2.
2. McDuff y Salamon 2017, Lema 2.4.5.
3. Griffiths y Harris 1978, Sección 0.2.
4. Harvey y Lawson 1982.
5. Federer 1969, Sección 5.4.19.

Referencias

• Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 153. Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. Sr.  0257325. Zbl  0176.00801.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . Matemáticas puras y aplicadas. Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-32792-1.MR  0507725.Zbl 0408.14001  .​
• Harvey, Reese ; Lawson, H. Blaine Jr. (1982). "Geometrías calibradas". Acta Mathematica . 148 : 47–157. doi : 10.1007/BF02392726 . MR  0666108. Zbl  0584.53021.
• McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017). Introducción a la topología simpléctica . Oxford Graduate Texts in Mathematics (tercera edición de la edición original de 1995). Oxford: Oxford University Press . doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879490-5. Sr.  3674984. Zbl  1380.53003.
• Wirtinger, W. (1936). "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung". Monatshefte für Mathematik und Physik . 44 : 343–365. doi :10.1007/BF01699328. SEÑOR  1550581. Zbl  0015.07602.