Teorema de Williamson

En el contexto del álgebra lineal y la geometría simpléctica , el teorema de Williamson se ocupa de la diagonalización de matrices definidas positivas a través de matrices simplécticas . ^{[1] [2] [3]}

Más precisamente, dada una matriz real hermítica estrictamente positiva definida , el teorema asegura la existencia de una matriz simpléctica real y una matriz real diagonal positiva , tales que donde denota la matriz identidad 2x2. ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$ ${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ $${\displaystyle SMS^{T}=I_{2}\otimes D\equiv D\oplus D,}$$ ${\displaystyle I_{2}}$

Prueba

La derivación del resultado depende de algunas observaciones básicas:

1. La matriz real , con , está bien definida y es antisimétrica. ${\displaystyle M^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}}$ ${\displaystyle J\equiv {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$
2. Cualquier matriz real antisimétrica se puede diagonalizar en bloques a través de matrices reales ortogonales, lo que significa que existe tal que con una matriz diagonal positiva definida real que contiene los valores singulares de . ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$ ${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$ ${\displaystyle OAO^{T}=I_{2}\otimes \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle A}$
3. Para cualquier ortogonal , la matriz es tal que . ${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$ ${\displaystyle S=(I\otimes {\sqrt {D}})OM^{-1/2}}$ ${\displaystyle SMS^{T}=I_{2}\otimes D}$
4. Si diagonaliza , lo que significa que satisface entonces es tal que Por lo tanto, tomando , la matriz también es una matriz simpléctica, que satisface . ${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$ ${\displaystyle M^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}}$ $${\displaystyle OM^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}O^{T}=I_{2}\otimes \Lambda ,}$$ ${\displaystyle S=(I\otimes {\sqrt {D}})OM^{-1/2}}$ $${\displaystyle S(J\otimes I_{n})S^{T}=J\otimes (D\Lambda ).}$$ ${\displaystyle D=\Lambda ^{-1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(J\otimes I_{n})S^{T}=J\otimes I_{n}}$

Véase también

• Geometría simpléctica
• Matrices simplécticas
• Matriz definida

Referencias

1. Williamson, John (1936). "Sobre el problema algebraico concerniente a las formas normales de los sistemas dinámicos lineales". American Journal of Mathematics . 58 (1): 141–163. doi :10.2307/2371062. ISSN  0002-9327. JSTOR  2371062.
2. Nicacio, F. (1 de diciembre de 2021). "Teorema de Williamson en física clásica, cuántica y estadística". Revista estadounidense de física . 89 (12): 1139–1151. arXiv : 2106.11965 . Código Bibliográfico :2021AmJPh..89.1139N. doi :10.1119/10.0005944. ISSN  0002-9505.
3. Yusofsani, Mohammad (25 de noviembre de 2018). «Geometría simpléctica y teorema de Wiliamson» (PDF) . Consultado el 25 de noviembre de 2018 .