Función de Whittaker

En matemáticas, una solución a una forma modificada de la ecuación hipergeométrica confluente.

Gráfico de la función de Whittaker M k,m(z) con k=2 y m= ⁠1/2⁠ en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas, una función de Whittaker es una solución especial de la ecuación de Whittaker , una forma modificada de la ecuación hipergeométrica confluente introducida por Whittaker  (1903) para hacer más simétricas las fórmulas que involucran las soluciones. De manera más general, Jacquet  (1966, 1967) introdujo funciones de Whittaker de grupos reductivos sobre cuerpos locales , donde las funciones estudiadas por Whittaker son esencialmente el caso donde el cuerpo local son los números reales y el grupo es SL ₂ ( R ).

La ecuación de Whittaker es

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

Tiene un punto singular regular en 0 y un punto singular irregular en ∞. Dos soluciones están dadas por las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ), definidas en términos de las funciones hipergeométricas confluentes de Kummer M y U por

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

La función de Whittaker es la misma que las funciones con valores opuestos de μ , es decir, considerada como una función de μ en κ y z fijos, es una función par . Cuando κ y z son reales, las funciones dan valores reales para valores reales e imaginarios de μ . Estas funciones de μ desempeñan un papel en los denominados espacios de Kummer. ^[1] ${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$

Las funciones de Whittaker aparecen como coeficientes de ciertas representaciones del grupo SL ₂ ( R ), llamadas modelos de Whittaker .

Referencias

1. Louis de Branges (1968). Espacios de Hilbert de funciones enteras . Prentice-Hall. ASIN  B0006BUXNM.Secciones 55-57.

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 13". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. págs. 504, 537. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. Véase también el capítulo 14.
• Bateman, Harry (1953), Funciones trascendentales superiores (PDF) , vol. 1, McGraw-Hill, archivado desde el original (PDF) el 2011-08-11 , consultado el 2011-07-30.
• Brychkov, Yu.A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función de Whittaker", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Función Whittaker", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
  • Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943 – A945, ISSN  0151-0509, SEÑOR  0200390
• Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN  0037-9484, MR  0271275
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Whittaker", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Slater, Lucy Joan (1960), Funciones hipergeométricas confluentes , Cambridge University Press , MR  0107026.
• Whittaker, Edmund T. (1903), "Una expresión de ciertas funciones conocidas como funciones hipergeométricas generalizadas", Boletín de la AMS , 10 (3), Providence, RI: American Mathematical Society : 125–134, doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01077-5

Lectura adicional

• Hatamzadeh-Varmazyar, Saeed; Masouri, Zahra (1 de noviembre de 2012). "Un método numérico rápido para el análisis de la dispersión electromagnética unidimensional y bidimensional utilizando un conjunto de funciones cardinales". Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 36 (11): 1631–1639. doi :10.1016/j.enganabound.2012.04.014. ISSN  0955-7997.
• Gerasimov, AA; Lebedev, Dmitrii R.; Oblezin, Sergei V. (2012). "Nuevas representaciones integrales de funciones de Whittaker para grupos de Lie clásicos". Encuestas matemáticas rusas . 67 (1): 1–92. arXiv : 0705.2886 . Código Bib : 2012RuMaS..67....1G. doi :10.1070/RM2012v067n01ABEH004776. ISSN  0036-0279.
• Balduino, Fabrice; O'Connell, Neil (2011). "Funcionales exponenciales del movimiento browniano y funciones de Whittaker de clase uno". Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques . 47 (4): 1096-1120. arXiv : 0809.2506 . Código Bib : 2011AIHPB..47.1096B. doi : 10.1214/10-AIHP401 . S2CID  113388.
• McKee, Mark (abril de 2009). "Una función de Whittaker de orden infinito". Revista canadiense de matemáticas . 61 (2): 373–381. doi : 10.4153/CJM-2009-019-x . ISSN  0008-414X. S2CID  55587239.
• Mathai, AM; Pederzoli, Giorgio (1997-03-01). "Algunas propiedades de transformadas de Laplace y funciones de Whittaker con variación matricial". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 253 (1): 209–226. doi : 10.1016/0024-3795(95)00705-9 . ISSN  0024-3795.
• Whittaker, JM (mayo de 1927). "Sobre la función cardinal de la teoría de interpolación". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 1 (1): 41–46. doi : 10.1017/S0013091500007318 . ISSN  1464-3839.
• Cherednik, Ivan (2009). "Límites de Whittaker de funciones esféricas diferenciales". International Mathematics Research Notices . 2009 (20): 3793–3842. arXiv : 0807.2155 . doi :10.1093/imrn/rnp065. ISSN  1687-0247. S2CID  6253357.
• Slater, LJ (octubre de 1954). "Expansiones de funciones generalizadas de Whittaker". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 50 (4): 628–631. Bibcode :1954PCPS...50..628S. doi :10.1017/S0305004100029765. ISSN  1469-8064. S2CID  122348447.
• Etingof, Pavel (12 de enero de 1999). "Funciones de Whittaker en grupos cuánticos y operadores de Toda deformados en q". arXiv : math/9901053 .
• McNamara, Peter J. (15 de enero de 2011). "Funciones de Whittaker metaplécticas y bases cristalinas". Duke Mathematical Journal . 156 (1): 1–31. arXiv : 0907.2675 . doi :10.1215/00127094-2010-064. ISSN  0012-7094. S2CID  979197.
• Mathai, AM; Pederzoli, Giorgio (15 de enero de 1998). "Una función de Whittaker de un argumento matricial". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 269 (1): 91–103. doi : 10.1016/S0024-3795(97)00059-1 . ISSN  0024-3795.
• Frenkel, E.; Gaitsgory, D.; Kazhdan, D.; Vilonen, K. (1998). "Realización geométrica de funciones de Whittaker y la conjetura de Langlands". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 11 (2): 451–484. arXiv : alg-geom/9703022 . doi : 10.1090/S0894-0347-98-00260-4 . ISSN  0894-0347. S2CID  13221400.