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Lagos de Wada

Primeras cinco etapas de los lagos de Wada

En matemáticas , los lagos de Wada (和田の湖, Wada no mizuumi ) son tres conjuntos abiertos disjuntos y conexos del plano o cuadrado unitario abierto con la propiedad contraintuitiva de que todos tienen el mismo límite . En otras palabras, para cualquier punto seleccionado en el límite de uno de los lagos, los límites de los otros dos lagos también contienen ese punto.

Se dice que más de dos conjuntos con el mismo límite tienen la propiedad Wada ; por ejemplo, las cuencas Wada en sistemas dinámicos . Esta propiedad es poco común en los sistemas del mundo real.

Los lagos de Wada fueron introducidos por Kunizō Yoneyama  (1917, página 60), quien atribuyó el descubrimiento a Takeo Wada . Su construcción es similar a la construcción de Brouwer (1910) de un continuo indescomponible y, de hecho, es posible que el límite común de los tres conjuntos sea un continuo indescomponible.

Construcción de los lagos de Wada

Animación de la excavación de lagos hasta el día 5

Los lagos de Wada se forman comenzando con un cuadrado unitario cerrado de tierra seca y luego cavando 3 lagos de acuerdo con la siguiente regla:

Después de un número infinito de días, los tres lagos siguen siendo conjuntos abiertos, separados y conectados, y la tierra seca restante es el límite de cada uno de los tres lagos.

Por ejemplo, los primeros cinco días podrían ser (ver la imagen de la derecha):

  1. Cavar un lago azul de 1/3 de ancho que pase dentro de √ 2/3 de toda la tierra seca.
  2. Cavar un lago rojo de ancho 1/3 2 que pase dentro de √ 2 /3 2 de toda la tierra seca.
  3. Cavar un lago verde de ancho 1/3 3 que pase dentro de √ 2 /3 3 de toda la tierra seca.
  4. Prolongar el lago azul con un canal de 1/3 4 de ancho que pase a √ 2 /3 4 de toda la tierra firme. (El canal pequeño conecta el lago azul angosto con el lago espeso, cerca del centro de la imagen).
  5. Prolongar el lago rojo con un canal de 1/3 5 de ancho que pase a √ 2 /3 5 de toda la tierra firme. (El diminuto canal conecta el delgado lago rojo con el espeso, cerca de la parte superior izquierda de la imagen).

Una variación de esta construcción puede producir un número infinito contable de lagos conectados con el mismo límite: en lugar de extender los lagos en el orden 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., extenderlos en el orden 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... y así sucesivamente.

Cuencas de Wada

Fractal de Newton que forma cuencas de atracción de Wada para z 3 − 1 = 0; las tres cuencas abiertas desconectadas tienen el mismo límite

Las cuencas de Wada son ciertas cuencas de atracción especiales estudiadas en las matemáticas de sistemas no lineales . Una cuenca que tiene la propiedad de que cada vecindad de cada punto en el límite de esa cuenca interseca al menos tres cuencas se llama cuenca de Wada , o se dice que tiene la propiedad de Wada . A diferencia de los lagos de Wada, las cuencas de Wada a menudo están desconectadas.

Un ejemplo de cuencas de Wada lo da el fractal de Newton que describe las cuencas de atracción del método de Newton-Raphson para encontrar las raíces de un polinomio cúbico con raíces distintas, como z 3 − 1; véase la imagen.

Cuencas de Wada en la teoría del caos

En la teoría del caos , las cuencas de Wada surgen con mucha frecuencia. Por lo general, la propiedad de Wada se puede ver en la cuenca de atracción de sistemas dinámicos disipativos . Pero las cuencas de salida de sistemas hamiltonianos también pueden mostrar la propiedad de Wada. En el contexto de la dispersión caótica de sistemas con múltiples salidas, las cuencas de salidas muestran la propiedad de Wada. MAF Sanjuán et al. [1] ha demostrado que en el sistema Hénon–Heiles las cuencas de salida tienen esta propiedad de Wada.

Véase también

Referencias

  1. ^ Cuencas de Wada y conjuntos invariantes caóticos en el sistema Henon-Heiles, Phys. Rev. E 64, 066208 (2001)

Lectura adicional

Enlaces externos