Integral de Volkenborn

En matemáticas, en el campo del análisis p-ádico , la integral de Volkenborn es un método de integración para funciones p-ádicas.

Definición

Sea : una función de los números enteros p-ádicos que toman valores en los números p-ádicos. La integral de Volkenborn se define por el límite, si existe: ${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}$

De manera más general, si

${\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ for }}r<n\right\}}$

entonces

${\displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}$

Esta integral fue definida por Arnt Volkenborn.

Ejemplos

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}$

¿Dónde está el k-ésimo número de Bernoulli ? ${\displaystyle B_{k}}$

Los cuatro ejemplos anteriores se pueden comprobar fácilmente mediante el uso directo de la definición y la fórmula de Faulhaber .

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}$

Los dos últimos ejemplos se pueden comprobar formalmente expandiendo la serie de Taylor e integrando término por término.

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}$

con la función logarítmica p-ádica y la función digamma p-ádica . ${\displaystyle \log _{p}}$ ${\displaystyle \psi _{p}}$

Propiedades

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)}$

De esto se deduce que la integral de Volkenborn no es invariante a la traducción.

Si entonces ${\displaystyle P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x}$

Véase también

• Distribución p-ádica

Referencias

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. En: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, núm. 4, 1972, [1]
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. En: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, núm. 1, 1974, [2]
• Henri Cohen, "Teoría de números", Volumen II, página 276