Inestabilidad de Saffman-Taylor

Inestabilidad de fluidos

Un ejemplo de digitación viscosa en una celda de Hele-Shaw.

Una demostración de la inestabilidad de Saffman-Taylor es tal que cuando una sustancia viscosa, como el pegamento PVA , se coloca sobre una superficie plana (arriba), se coloca otra superficie paralela encima y el pegamento se extiende (centro), y las superficies se levantan, el aire, un fluido menos viscoso, intenta invadir el espacio donde se encuentra el pegamento. La interfaz entre el pegamento y el aire se vuelve inestable, lo que lleva a la formación de patrones similares a dedos o ramificaciones (abajo).

La inestabilidad de Saffman-Taylor , también conocida como digitación viscosa , es la formación de patrones en una interfaz morfológicamente inestable entre dos fluidos en un medio poroso o en una celda de Hele-Shaw , descrita matemáticamente por Philip Saffman y GI Taylor en un artículo de 1958. ^{[1] [2]} Esta situación se encuentra con mayor frecuencia durante los procesos de drenaje a través de medios como los suelos. ^[3] Ocurre cuando se inyecta un fluido menos viscoso, desplazando a un fluido más viscoso; en la situación inversa, con el más viscoso desplazando al otro, la interfaz es estable y no se ve inestabilidad. Esencialmente, el mismo efecto ocurre impulsado por la gravedad (sin inyección) si la interfaz es horizontal y separa dos fluidos de diferentes densidades, estando el más pesado por encima del otro: esto se conoce como inestabilidad de Rayleigh-Taylor . En la configuración rectangular el sistema evoluciona hasta formar un único dedo (el dedo de Saffman-Taylor), mientras que en la configuración radial el patrón crece formando dedos mediante sucesivas divisiones de las puntas. ^[4]

La mayor parte de la investigación experimental sobre la digitación viscosa se ha realizado en células de Hele-Shaw, que consisten en dos láminas de vidrio paralelas y muy próximas entre sí que contienen un fluido viscoso. Las dos configuraciones más comunes son la configuración en canal, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en un extremo del canal, y la configuración radial, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en el centro de la célula. Las inestabilidades análogas a la digitación viscosa también pueden generarse por sí mismas en los sistemas biológicos. ^[5]

Derivación para una interfaz plana

El caso más simple de inestabilidad surge en una interfaz plana dentro de un medio poroso o celda de Hele-Shaw, y fue tratado por Saffman y Taylor ^[1] pero también antes por otros autores. ^[6] Un fluido de viscosidad es impulsado en la dirección - hacia otro fluido de viscosidad a cierta velocidad . Denotando la permeabilidad del medio poroso como una constante, isótropa, , la ley de Darcy da los campos de presión no perturbados en los dos fluidos como donde es la presión en la interfaz plana, trabajando en un marco donde esta interfaz está dada instantáneamente por . Perturbando esta interfaz a (descomponiendo en modos normales en el plano, y tomando ), los campos de presión se convierten en Como consecuencia de la incompresibilidad del flujo y la ley de Darcy, los campos de presión deben ser armónicos , lo que, junto con el requisito de que la perturbación decaiga como , fija y , con las constantes a determinar por la continuidad de la presión. Tras la linealización , la condición cinemática de contorno en la interfaz (que la velocidad del fluido en la dirección debe coincidir con la velocidad de la interfaz del fluido), junto con la ley de Darcy, da y por lo tanto que y . La coincidencia de los campos de presión en la interfaz da y por lo tanto , lo que lleva al crecimiento de la perturbación cuando - es decir, cuando el fluido inyectado es menos viscoso que el fluido ambiental. Hay problemas con este caso básico: a saber, que el modo más inestable tiene un número de onda infinito y crece a una velocidad infinitamente rápida, lo que se puede rectificar mediante la introducción de tensión superficial ^[7] (que proporciona una condición de salto en las presiones a través de la interfaz del fluido a través de la ecuación de Young-Laplace ), que tiene el efecto de modificar la tasa de crecimiento a ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle i=1,\,2}$ $${\displaystyle p_{i}^{(0)}=p_{\text{int}}-{\frac {V\mu _{i}}{\Pi }}x,}$$ ${\displaystyle p_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\eta _{0}\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle \left|\eta _{0}\right|\ll 1}$ $${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{(0)}+{\tilde {p}}_{i}\left(x\right)\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}.}$$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}={\tilde {p}}_{1}e^{kx}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\tilde {p}}_{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle -{\frac {\Pi }{\mu _{i}}}\left.{\frac {\partial {\tilde {p}}_{i}}{\partial x}}\right|_{x=0}=\sigma \eta _{0},}$$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}=-{\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{1}}{\Pi k}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{2}}{\Pi k}}}$ $${\displaystyle -V\mu _{1}-{\frac {\sigma \mu _{1}}{k}}=-V\mu _{2}+{\frac {\sigma \mu _{2}}{k}},}$$ ${\displaystyle \sigma =kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)/\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)}$ ${\displaystyle \mu _{2}>\mu _{1}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)-\gamma H_{f}k^{3}}{\mu _{1}+\mu _{2}}},}$$

con tensión superficial y curvatura media . Esto suprime perturbaciones de longitud de onda pequeña (número de onda alto), y esperaríamos ver inestabilidades con un número de onda cercano al valor de que da como resultado el valor máximo de ; en este caso con tensión superficial, hay un valor máximo único. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$

En geometría radial

La inestabilidad de Saffman-Taylor suele verse en un contexto axisimétrico, a diferencia del caso planar simple derivado anteriormente. ^{[8] [9]} Los mecanismos para la inestabilidad siguen siendo los mismos en este caso, y la selección del número de onda más inestable en este caso corresponde a un número dado de dedos (un entero).

Véase también

• Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
• Ley de Darcy

Referencias

1. Saffman, Philip Geoffrey; Taylor, Geoffrey Ingram (24 de junio de 1958). "La penetración de un fluido en un medio poroso o celda de Hele-Shaw que contiene un líquido más viscoso". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 245 (1242): 312–329. Bibcode :1958RSPSA.245..312S. doi :10.1098/rspa.1958.0085. S2CID  95750900.
2. Homsy, GM (1987-01-01). "Digitación viscosa en medios porosos". Revista anual de mecánica de fluidos . 19 (1): 271–311. Código Bibliográfico :1987AnRFM..19..271H. doi :10.1146/annurev.fl.19.010187.001415. ISSN  0066-4189.
3. Li, S; et al. (2018). "Dinámica de zonas saturadas atrapadas viscosas en medios porosos parcialmente humedecidos". Transporte en medios porosos . 125 (2): 193–210. arXiv : 1802.07387 . doi :10.1007/s11242-018-1113-3. S2CID  53323967.
4. Lajeunesse, E.; Couder, Y. (1 de septiembre de 2000). "Sobre la inestabilidad de la punta dividida de los dedos viscosos". Journal of Fluid Mechanics . 419 (1): 125–149. Bibcode :2000JFM...419..125L. doi :10.1017/S0022112000001324. ISSN  1469-7645. S2CID  121812154.
5. Mather, W.; Mondragón-Palomino, O.; Danino, T.; Hasty, J.; Tsimring, LS (2010). "Inestabilidad de transmisión en poblaciones celulares en crecimiento". Physical Review Letters . 104 (20): 208101. Bibcode :2010PhRvL.104t8101M. doi :10.1103/PhysRevLett.104.208101. PMC 2947335 . PMID  20867071. 
6. Hill, S. (1952). "Canalización en columnas empacadas". Chemical Engineering Science . 1 (6): 247–253. doi :10.1016/0009-2509(52)87017-4. ISSN  0009-2509.
7. Chuoke, RL; van Meurs, P.; van der Poel, C. (1959-12-01). "La inestabilidad de desplazamientos líquido-líquido viscosos, inmiscibles y lentos en medios permeables". Transacciones de la AIME . 216 (1): 188–194. doi :10.2118/1141-G. ISSN  0081-1696.
8. Wilson, SD R (1 de junio de 1975). "Una nota sobre la medición de ángulos de contacto dinámicos". Journal of Colloid and Interface Science . 51 (3): 532–534. Bibcode :1975JCIS...51..532W. doi :10.1016/0021-9797(75)90151-4. ISSN  0021-9797.
9. Paterson, Lincoln (1981-12-01). "Digitación radial en una celda de Hele Shaw". Journal of Fluid Mechanics . 113 : 513–529. Bibcode :1981JFM...113..513P. doi :10.1017/S0022112081003613. ISSN  1469-7645. S2CID  122222282.