Teorema de mapeo de Vietoris-Begle

Sobre la homología de aplicaciones continuas entre espacios métricos compactos

El teorema de aplicación de Vietoris-Begle es un resultado del campo matemático de la topología algebraica . Recibe su nombre en honor a Leopold Vietoris y Edward G. Begle . El enunciado del teorema, que aparece a continuación, es el que formuló Stephen Smale .

Teorema

Sean y espacios métricos compactos , y sean sobreyectivas y continuas . Supóngase que las fibras de son acíclicas , de modo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{r}(f^{-1}(y))=0,}$para todos y todas , ${\displaystyle 0\leq r\leq n-1}$ ${\displaystyle y\in Y}$

con denotación del º grupo de homología de Vietoris reducido . Entonces, el homomorfismo inducido ${\displaystyle {\tilde {H}}_{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f_{*}:{\tilde {H}}_{r}(X)\to {\tilde {H}}_{r}(Y)}$

es un isomorfismo para y una sobreyección para . ${\displaystyle r\leq n-1}$ ${\displaystyle r=n}$

Obsérvese que, como se ha indicado, el teorema no se cumple para teorías de homología como la homología singular . Por ejemplo, los grupos de homología de Vietoris de la curva sinusoidal cerrada del topólogo y de un segmento son isomorfos (ya que el primero se proyecta sobre el segundo con fibras acíclicas). Pero la homología singular difiere, ya que el segmento está conectado por trayectorias y la curva sinusoidal del topólogo no lo está.

Referencias

• "Leopold Vietoris (1891–2002)", Notices of the American Mathematical Society , vol. 49, núm. 10 (noviembre de 2002) por Heinrich Reitberger