Vector neutro

En estadística , y específicamente en el estudio de la distribución de Dirichlet , un vector neutro de variables aleatorias es aquel que exhibe un tipo particular de independencia estadística entre sus elementos. ^[1] En particular, cuando los elementos del vector aleatorio deben sumar cierta suma, entonces un elemento en el vector es neutral con respecto a los demás si la distribución del vector creada al expresar los elementos restantes como proporciones de su total es independiente del elemento que fue omitido.

Definición

Un solo elemento de un vector aleatorio es neutral si las proporciones relativas de todos los demás elementos son independientes de . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Formalmente, considere el vector de variables aleatorias

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}=1.}$

Los valores se interpretan como longitudes cuya suma es la unidad. En una variedad de contextos, a menudo es deseable eliminar una proporción, digamos , y considerar la distribución de los intervalos restantes dentro de la longitud restante. El primer elemento de , viz se define como neutral si es estadísticamente independiente del vector ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$

${\displaystyle X_{1}^{*}=\left({\frac {X_{2}}{1-X_{1}}},{\frac {X_{3}}{1-X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}}}\right).}$

La variable es neutral si es independiente del intervalo restante: es decir, es independiente de ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{2}/(1-X_{1})}$ ${\displaystyle X_{2}/(1-X_{1})}$

${\displaystyle X_{1,2}^{*}=\left({\frac {X_{3}}{1-X_{1}-X_{2}}},{\frac {X_{4}}{1-X_{1}-X_{2}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-X_{2}}}\right).}$

Por lo tanto , considerado como el primer elemento de , es neutral. ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y=(X_{2},X_{3},\ldots ,X_{k})}$

En general, la variable es neutral si es independiente de ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{j-1}}$

${\displaystyle X_{1,\ldots ,j}^{*}=\left({\frac {X_{j+1}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}}\right).}$

Neutralidad completa

Un vector en el que cada elemento es neutro es completamente neutro .

Si se extrae de una distribución de Dirichlet, entonces es completamente neutral. En 1980, James y Mosimann ^[2] demostraron que la distribución de Dirichlet se caracteriza por su neutralidad. ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Distribución de Dirichlet generalizada

Referencias

1. Connor, RJ; Mosimann, JE (1969). "Conceptos de independencia para proporciones con una generalización de la distribución de Dirichlet". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 64 (325): 194–206. doi :10.2307/2283728.
2. James, Ian R.; Mosimann, James E (1980). "Una nueva caracterización de la distribución de Dirichlet a través de la neutralidad". Anales de Estadística . 8 (1): 183–189. doi : 10.1214/aos/1176344900 .