En física computacional , Monte Carlo variacional (VMC) es un método cuántico de Monte Carlo que aplica el método variacional para aproximar el estado fundamental de un sistema cuántico. [1]
El componente básico es una función de onda genérica que depende de algunos parámetros . Los valores óptimos de los parámetros se encuentran luego al minimizar la energía total del sistema.
En particular, dado el hamiltoniano y denotado con una configuración de muchos cuerpos , el valor esperado de la energía se puede escribir como: [2]
Siguiendo el método de Monte Carlo para evaluar integrales , podemos interpretarla como una función de distribución de probabilidad , muestrearla y evaluar el valor esperado de energía como el promedio de la llamada energía local . Una vez que se conoce un conjunto dado de parámetros variacionales , se realiza la optimización para minimizar la energía y obtener la mejor representación posible de la función de onda del estado fundamental.
VMC no es diferente de cualquier otro método variacional, excepto que las integrales multidimensionales se evalúan numéricamente. La integración de Monte Carlo es particularmente crucial en este problema ya que la dimensión del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, que comprende todos los valores posibles de las configuraciones , normalmente crece exponencialmente con el tamaño del sistema físico. Por lo tanto, otros enfoques para la evaluación numérica de los valores energéticos esperados limitarían, en general, las aplicaciones a sistemas mucho más pequeños que los analizables gracias al enfoque de Monte Carlo.
La precisión del método depende en gran medida de la elección del estado variacional. La elección más simple normalmente corresponde a una forma de campo medio , donde el estado se escribe como una factorización sobre el espacio de Hilbert. Esta forma particularmente simple no suele ser muy precisa ya que ignora los efectos de muchos cuerpos. Una de las mayores ganancias en precisión con respecto a la escritura de la función de onda por separado proviene de la introducción del llamado factor de Jastrow. En este caso la función de onda se escribe como , donde es la distancia entre un par de partículas cuánticas y es una función variacional por determinar. Con este factor, podemos explicar explícitamente la correlación partícula-partícula, pero la integral de muchos cuerpos se vuelve inseparable, por lo que Monte Carlo es la única forma de evaluarla eficientemente. En los sistemas químicos, versiones ligeramente más sofisticadas de este factor pueden obtener entre el 80% y el 90% de la energía de correlación (ver correlación electrónica ) con menos de 30 parámetros. En comparación, un cálculo de interacción de configuración puede requerir alrededor de 50.000 parámetros para alcanzar esa precisión, aunque depende en gran medida del caso particular que se considere. Además, VMC generalmente escala como una pequeña potencia del número de partículas en la simulación, generalmente algo así como N 2-4 para el cálculo del valor esperado de energía, dependiendo de la forma de la función de onda.
Los cálculos QMC dependen crucialmente de la calidad de la función de prueba, por lo que es esencial tener una función de onda optimizada lo más cercana posible al estado fundamental. El problema de la optimización de funciones es un tema de investigación muy importante en la simulación numérica. En QMC, además de las dificultades habituales para encontrar el mínimo de una función paramétrica multidimensional, el ruido estadístico está presente en la estimación de la función de coste (normalmente la energía), y sus derivadas, necesarias para una optimización eficiente.
Se utilizaron diferentes funciones de costos y diferentes estrategias para optimizar una función de prueba de muchos cuerpos. Generalmente se utilizan tres funciones de costos en la optimización de QMC: energía, varianza o una combinación lineal de ellas. El método de optimización de la varianza tiene la ventaja de que se conoce la varianza exacta de la función de onda. (Debido a que la función de onda exacta es una función propia del hamiltoniano, la varianza de la energía local es cero). Esto significa que la optimización de la varianza es ideal porque está limitada por debajo, está definida positivamente y se conoce su mínimo. Sin embargo, la minimización de la energía puede resultar más efectiva en última instancia, ya que diferentes autores demostraron recientemente que la optimización de la energía es más efectiva que la optimización de la varianza.
Hay diferentes motivaciones para esto: en primer lugar, normalmente uno está interesado en la energía más baja más que en la varianza más baja tanto en Monte Carlo variacional como en difusión; en segundo lugar, la optimización de la varianza requiere muchas iteraciones para optimizar los parámetros determinantes y, a menudo, la optimización puede quedarse estancada en múltiples mínimos locales y sufre el problema de la "falsa convergencia"; Las terceras funciones de onda con energía minimizada producen en promedio valores más precisos de otros valores esperados que las funciones de onda con varianza minimizada.
Las estrategias de optimización se pueden dividir en tres categorías. La primera estrategia se basa en el muestreo correlacionado junto con métodos de optimización deterministas. Incluso si esta idea produjo resultados muy precisos para los átomos de la primera fila, este procedimiento puede tener problemas si los parámetros afectan a los nodos y, además, la relación de densidad de la función de prueba actual e inicial aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema. En la segunda estrategia, se utiliza un contenedor grande para evaluar la función de costos y sus derivadas de tal manera que se pueda despreciar el ruido y se puedan usar métodos deterministas.
El tercer enfoque se basa en una técnica iterativa para manejar directamente funciones de ruido. El primer ejemplo de estos métodos es la llamada Aproximación de gradiente estocástico (SGA), que también se utilizó para la optimización de estructuras. Recientemente se propuso un enfoque mejorado y más rápido de este tipo, el llamado método de Reconfiguración Estocástica (SR).
En 2017, Giuseppe Carleo y Matthias Troyer [3] utilizaron una función objetivo VMC para entrenar una red neuronal artificial para encontrar el estado fundamental de un sistema mecánico cuántico. De manera más general, las redes neuronales artificiales se están utilizando como función de onda ansatz (conocida como estados cuánticos de redes neuronales ) en marcos VMC para encontrar estados fundamentales de sistemas mecánicos cuánticos. El uso de ansatzes de redes neuronales para VMC se ha extendido a los fermiones , lo que permite cálculos de estructuras electrónicas que son significativamente más precisos que los cálculos de VMC que no utilizan redes neuronales. [4] [5] [6]
