Oscilación de vacío de Rabi

Oscilación amortiguada en óptica cuántica

Una oscilación de Rabi en el vacío es una oscilación amortiguada de un átomo inicialmente excitado acoplado a un resonador o cavidad electromagnética en la que el átomo emite alternativamente fotones en una cavidad electromagnética monomodo y los reabsorbe. El átomo interactúa con un campo monomodo confinado a un volumen limitado V en una cavidad óptica. ^{[1] [2] [3]} La emisión espontánea es una consecuencia del acoplamiento entre el átomo y las fluctuaciones del vacío del campo de la cavidad.

Tratamiento matemático

Una descripción matemática de la oscilación de Rabi en el vacío comienza con el modelo de Jaynes-Cummings , que describe la interacción entre un modo único de un campo cuantizado y un sistema de dos niveles dentro de una cavidad óptica . El hamiltoniano para este modelo en la aproximación de onda rotatoria es

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)}$

donde es el operador de espín z de Pauli para los dos estados propios y del sistema aislado de dos niveles separados en energía por ; y son los operadores de elevación y descenso del sistema de dos niveles; y son los operadores de creación y aniquilación para los fotones de energía en el modo de cavidad; y ${\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

${\displaystyle g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}}}$

es la fuerza del acoplamiento entre el momento dipolar del sistema de dos niveles y el modo de cavidad con volumen y campo eléctrico polarizados a lo largo de . ^[4] Los valores propios y estados propios de energía para este modelo son ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}$

${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

¿Dónde está la desafinación y el ángulo se define como? ${\displaystyle \delta =\omega _{0}-\omega }$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}$

Dados los estados propios del sistema, el operador de evolución temporal se puede escribir en la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g,0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}.}$

Si el sistema comienza en el estado , donde el átomo está en el estado fundamental del sistema de dos niveles y hay fotones en el modo de cavidad, la aplicación del operador de evolución temporal produce ${\displaystyle |g,n+1\rangle }$ ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}.}$

La probabilidad de que el sistema de dos niveles esté en el estado excitado en función del tiempo es entonces ${\displaystyle |e,n\rangle }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}}$

donde se identifica como la frecuencia de Rabi . Para el caso de que no haya campo eléctrico en la cavidad, es decir, el número de fotones es cero, la frecuencia de Rabi se convierte en . Entonces, la probabilidad de que el sistema de dos niveles pase de su estado fundamental a su estado excitado en función del tiempo es ${\displaystyle \Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}}$

Para una cavidad que admite un solo modo perfectamente resonante con la diferencia de energía entre los dos niveles de energía, la desafinación desaparece y se convierte en una sinusoide cuadrada con amplitud y período unitarios. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P_{e}(t)}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{g}}.}$

Generalización anorteátomos

La situación en la que hay dos sistemas de nivel presentes en una cavidad monomodo se describe mediante el modelo de Tavis-Cummings ^[5] , que tiene valores hamiltonianos. ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\sum _{j=1}^{N}{\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{j}^{z}}{2}}+\hbar g_{j}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{j}^{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{j}^{-}\right)}.}$

Suponiendo que todos los sistemas de dos niveles tienen la misma fuerza de acoplamiento individual al campo, el conjunto en su conjunto tendrá una fuerza de acoplamiento mejorada . Como resultado, la división de Rabi en el vacío se mejora correspondientemente por un factor de . ^[6] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{N}=g{\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Véase también

• Modelo de Jaynes-Cummings
• Fluctuación cuántica
• Ciclo de Rabi
• Frecuencia de Rabi
• Problema de Rabi
• Emisión espontánea
• Isidoro Isaac Rabi

Referencias y notas

1. Hiroyuki Yokoyama y Ujihara K (1995). Emisión espontánea y oscilación láser en microcavidades. Boca Raton: CRC Press. p. 6. ISBN 0-8493-3786-0.
2. Kerry Vahala (2004). Microcavidades ópticas. Singapur: World Scientific. pág. 368. ISBN. 981-238-775-7.
3. Rodney Loudon (2000). La teoría cuántica de la luz. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. pág. 172. ISBN 0-19-850177-3.
4. Marlan O. Scully, M. Suhail Zubairy (1997). Óptica cuántica. Cambridge University Press. pág. 5. ISBN 0521435951.
5. Schine, Nathan (2019). Física cuántica de Hall con fotones (doctorado). Universidad de Chicago.
6. Mark Fox (2006). Óptica cuántica: una introducción. Boca Raton: OUP Oxford. pág. 208. ISBN 0198566735.