V de Cramér

Medida estadística de asociación

En estadística , la V de Cramér (a veces denominada phi de Cramér y denotada como φ _c ) es una medida de asociación entre dos variables nominales , que da un valor entre 0 y +1 (inclusive). Se basa en la estadística de chi-cuadrado de Pearson y fue publicada por Harald Cramér en 1946. ^[1]

Uso e interpretación

φ _c es la intercorrelación de dos variables discretas ^[2] y puede utilizarse con variables que tengan dos o más niveles. φ _c es una medida simétrica: no importa qué variable coloquemos en las columnas y cuál en las filas. Además, el orden de las filas/columnas no importa, por lo que φ _c puede utilizarse con tipos de datos nominales o superiores (en particular, ordenados o numéricos).

La V de Cramér varía de 0 (que corresponde a la ausencia de asociación entre las variables) a 1 (asociación completa) y puede llegar a 1 solo cuando cada variable está completamente determinada por la otra. Puede considerarse como la asociación entre dos variables expresada como porcentaje de su variación máxima posible.

φ _c ^{2 es la} correlación canónica cuadrática media entre las variables. ^{[ cita requerida ]}

En el caso de una tabla de contingencia de 2 × 2 , V de Cramér es igual al valor absoluto del coeficiente Phi .

Cálculo

Sea una muestra de tamaño n de las variables distribuidas simultáneamente y para dada por las frecuencias ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,r;j=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle n_{ij}=}$Número de veces que se observaron los valores . ${\displaystyle (A_{i},B_{j})}$

La estadística chi-cuadrado entonces es:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(n_{ij}-{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}})^{2}}{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}}}\;,}$

donde es el número de veces que se observa el valor y es el número de veces que se observa el valor. ${\displaystyle n_{i.}=\sum _{j}n_{ij}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle n_{.j}=\sum _{i}n_{ij}}$ ${\displaystyle B_{j}}$

La V de Cramér se calcula tomando la raíz cuadrada del estadístico chi-cuadrado dividido por el tamaño de la muestra y la dimensión mínima menos 1:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {\varphi ^{2}}{\min(k-1,r-1)}}}={\sqrt {\frac {\chi ^{2}/n}{\min(k-1,r-1)}}}\;,}$

dónde:

• ${\displaystyle \varphi }$es el coeficiente phi.
• ${\displaystyle \chi ^{2}}$Se deriva de la prueba de chi-cuadrado de Pearson.
• ${\displaystyle n}$es el gran total de observaciones y
• ${\displaystyle k}$siendo el número de columnas.
• ${\displaystyle r}$siendo el número de filas.

El valor p para la significancia de V es el mismo que se calcula utilizando la prueba de chi-cuadrado de Pearson . ^{[ cita requerida ]}

Se conoce la fórmula para la varianza de V = φ _c ^{. [3]}

En R, la función cramerV()del paquete rcompanion^[4] calcula V utilizando la función chisq.test del paquete stats. A diferencia de la función cramersV()del paquete lsr^[5] , cramerV()también ofrece una opción para corregir el sesgo. Aplica la corrección descrita en la siguiente sección.

Corrección de sesgo

La V de Cramér puede ser un estimador muy sesgado de su contraparte poblacional y tenderá a sobrestimar la fuerza de la asociación. Una corrección del sesgo, utilizando la notación anterior, se da mediante ^[6]

${\displaystyle {\tilde {V}}={\sqrt {\frac {{\tilde {\varphi }}^{2}}{\min({\tilde {k}}-1,{\tilde {r}}-1)}}}}$ 

dónde

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}^{2}=\max \left(0,\varphi ^{2}-{\frac {(k-1)(r-1)}{n-1}}\right)}$ 

y

${\displaystyle {\tilde {k}}=k-{\frac {(k-1)^{2}}{n-1}}}$ 

${\displaystyle {\tilde {r}}=r-{\frac {(r-1)^{2}}{n-1}}}$ 

Luego estima la misma cantidad de población que la V de Cramér pero con un error cuadrático medio típicamente mucho menor . La razón para la corrección es que, en condiciones de independencia, . ^[7] ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ ${\displaystyle E[\varphi ^{2}]={\frac {(k-1)(r-1)}{n-1}}}$

Véase también

Otras medidas de correlación para datos nominales:

• La diferencia porcentual máxima ^[8]
• El coeficiente phi
• La camiseta de Tschuprow
• El coeficiente de incertidumbre
• El coeficiente Lambda
• El índice Rand
• Índice de Davies-Bouldin
• Índice de Dunn
• Índice de Jaccard
• Índice de Fowlkes-Mallows

Otros artículos relacionados:

• Tabla de contingencia
• Tamaño del efecto
• Análisis de conglomerados § Evaluación externa

Referencias

1. Cramér, Harald. 1946. Métodos matemáticos de estadística . Princeton: Princeton University Press, página 282 (Capítulo 21. El caso bidimensional). ISBN  0-691-08004-6 (tabla de contenido Archivado el 16 de agosto de 2016 en Wayback Machine )
2. Sheskin, David J. (1997). Manual de procedimientos estadísticos paramétricos y no paramétricos. Boca Raton, Florida: CRC Press.
3. Liebetrau, Albert M. (1983). Medidas de asociación . Newbury Park, CA: Sage Publications. Serie Aplicaciones cuantitativas en las ciencias sociales n.º 32. (páginas 15-16)
4. "Rcompanion: Funciones para apoyar la evaluación de programas de extensión educativa". 2019-01-03.
5. "Lsr: complemento para "Aprender estadística con R"". 2 de marzo de 2015.
6. Bergsma, Wicher (2013). "Una corrección de sesgo para la V de Cramér y la T de Tschuprow". Revista de la Sociedad Estadística de Corea . 42 (3): 323–328. doi :10.1016/j.jkss.2012.10.002.
7. Bartlett, Maurice S. (1937). "Propiedades de suficiencia y pruebas estadísticas". Actas de la Royal Society de Londres . Serie A. 160 (901): 268–282. Bibcode :1937RSPSA.160..268B. doi :10.1098/rspa.1937.0109. JSTOR  96803.
8. Tyler, Scott R.; Bunyavanich, Supinda; Schadt, Eric E. (19 de noviembre de 2021). "PMD descubre un borrado generalizado del estado celular mediante métodos de corrección por lotes de scRNAseq". BioRxiv : 2021.11.15.468733. doi :10.1101/2021.11.15.468733.

Enlaces externos

• Una medida de asociación para estadísticas no paramétricas (Alan C. Acock y Gordon R. Stavig Página 1381 de 1381–1386)
• Asociación nominal: Phi y VI de Cramer de la página de inicio de Pat Dattalo.