La geometría epipolar es la geometría de la visión estereoscópica . Cuando dos cámaras visualizan una escena 3D desde dos posiciones distintas, existen varias relaciones geométricas entre los puntos 3D y sus proyecciones sobre las imágenes 2D que generan restricciones entre los puntos de la imagen. Estas relaciones se derivan a partir del supuesto de que las cámaras pueden aproximarse mediante el modelo de cámara estenopeica .
La figura siguiente muestra dos cámaras estenopeicas que miran al punto X. En las cámaras reales, el plano de la imagen está en realidad detrás del centro focal y produce una imagen que es simétrica respecto del centro focal de la lente. Aquí, sin embargo, el problema se simplifica colocando un plano de imagen virtual delante del centro focal, es decir, el centro óptico de cada lente de la cámara para producir una imagen no transformada por la simetría. O L y O R representan los centros de simetría de las lentes de las dos cámaras. X representa el punto de interés en ambas cámaras. Los puntos x L y x R son las proyecciones del punto X sobre los planos de la imagen.
Cada cámara captura una imagen 2D del mundo 3D. Esta conversión de 3D a 2D se denomina proyección en perspectiva y se describe mediante el modelo de cámara estenopeica. Es habitual modelar esta operación de proyección mediante rayos que emanan de la cámara y pasan por su centro focal. Cada rayo que emana corresponde a un único punto de la imagen.
Como los centros ópticos de las lentes de las cámaras son distintos, cada centro se proyecta sobre un punto distinto en el plano de imagen de la otra cámara. Estos dos puntos de imagen, denotados por e L y e R , se denominan epípolos o puntos epipolares . Ambos epípolos e L y e R en sus respectivos planos de imagen y ambos centros ópticos O L y O R se encuentran en una única línea 3D.
La cámara izquierda ve la línea O L – X como un punto porque está directamente alineada con el centro óptico de la lente de esa cámara. Sin embargo, la cámara derecha ve esta línea como una línea en su plano de imagen. Esa línea ( e R – x R ) en la cámara derecha se llama línea epipolar . Simétricamente, la cámara derecha ve la línea O R – X como un punto y la cámara izquierda la ve como la línea epipolar e L – x L .
Una línea epipolar es una función de la posición del punto X en el espacio 3D, es decir, a medida que X varía, se genera un conjunto de líneas epipolares en ambas imágenes. Dado que la línea 3D O L – X pasa por el centro óptico de la lente O L , la línea epipolar correspondiente en la imagen derecha debe pasar por el epípolo e R (y correspondientemente para las líneas epipolares en la imagen izquierda). Todas las líneas epipolares en una imagen contienen el punto epipolar de esa imagen. De hecho, cualquier línea que contenga el punto epipolar es una línea epipolar ya que puede derivarse de algún punto 3D X .
Como visualización alternativa, considere los puntos X , O L y O R que forman un plano llamado plano epipolar . El plano epipolar interseca el plano de imagen de cada cámara donde forma líneas: las líneas epipolares. El plano epipolar y todas las líneas epipolares intersecan los epipolos independientemente de dónde se encuentre X.
Si se conoce la posición relativa de las dos cámaras, esto conduce a dos observaciones importantes:
La geometría epipolar se simplifica si los dos planos de imagen de la cámara coinciden. En este caso, las líneas epipolares también coinciden ( e L – X L = e R – X R ). Además, las líneas epipolares son paralelas a la línea O L – O R entre los centros de proyección y, en la práctica, pueden alinearse con los ejes horizontales de las dos imágenes. Esto significa que para cada punto de una imagen, su punto correspondiente en la otra imagen se puede encontrar mirando solo a lo largo de una línea horizontal. Si las cámaras no se pueden posicionar de esta manera, las coordenadas de imagen de las cámaras se pueden transformar para emular tener un plano de imagen común. Este proceso se llama rectificación de imagen .
A diferencia de la cámara convencional que utiliza un CCD bidimensional, la cámara Pushbroom adopta una matriz de CCD unidimensionales para producir una franja de imagen continua y larga, llamada "alfombra de imágenes". La geometría epipolar de este sensor es bastante diferente de la de las cámaras de proyección estenopeica. En primer lugar, la línea epipolar del sensor Pushbroom no es recta, sino una curva similar a una hipérbola. En segundo lugar, el par de "curvas" epipolares no existe. [1] Sin embargo, en algunas condiciones especiales, la geometría epipolar de las imágenes satelitales podría considerarse como un modelo lineal. [2]