Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo [1] [2] es una publicación fundamental de George Green en 1828, donde amplía trabajos anteriores de Siméon Denis Poisson sobre electricidad y magnetismo . El trabajo en análisis matemático, incluido en particular lo que hoy se conoce universalmente como teorema de Green , es de suma importancia en todas las ramas de la física matemática. Contiene la primera exposición de la teoría del potencial . En física , el teorema de Green se utiliza principalmente para resolver integrales de flujo bidimensionales , afirmando que la suma de los flujos de salida de fluidos en cualquier punto dentro de un volumen es igual al flujo de salida total sumado alrededor de un área circundante. En geometría plana y, en particular, en el estudio de áreas , el teorema de Green se puede utilizar para determinar el área y el centroide de figuras planas únicamente integrando sobre el perímetro .
Es en este ensayo donde aparece por primera vez el término " función potencial ". Aquí también hizo su aparición su notable teorema de matemáticas puras , conocido desde entonces universalmente como teorema de Green , y probablemente el instrumento de investigación más importante en toda la gama de la física matemática. Ahora todos podemos comprender, al menos de manera general, la importancia del trabajo de Green y los progresos realizados desde la publicación de su ensayo en 1828. Pero para apreciar plenamente su trabajo y su progreso posterior es necesario conocer las perspectivas de su futuro. las ciencias físico-matemáticas tal como le parecían a Green en ese momento y darse cuenta de su refinada sensibilidad al promulgar sus descubrimientos. [3]
Las investigaciones eléctricas y magnéticas de Poisson fueron generalizadas y ampliadas en 1828 por George Green. El tratamiento de Green se basa en las propiedades de la función ya utilizada por Lagrange, Laplace y Poisson, que representa la suma de todas las cargas eléctricas o magnéticas en el campo, dividida por sus respectivas distancias desde un punto dado: a esta función Green le dio el nombre potencial, con el que siempre se le ha conocido desde entonces. [4]
En 1828, Green publicó el artículo que es el ensayo por el que es más famoso en la actualidad. Cuando Green publicó su Ensayo , se vendió mediante suscripción a 51 personas, la mayoría de las cuales eran amigos y probablemente no podían entenderlo. El rico terrateniente y matemático Edward Bromhead compró una copia y animó a Green a seguir trabajando en matemáticas. Sin creer que la oferta fuera sincera, Green no se puso en contacto con Bromhead durante dos años.
Al publicar la obra, introdujo por primera vez el término "potencial" para denotar el resultado obtenido al sumar las masas de todas las partículas de un sistema, cada una dividida por su distancia a un punto determinado; y las propiedades de esta función se consideran y aplican primero a las teorías del magnetismo y la electricidad. A esto le siguieron dos artículos comunicados por Sir Bromhead a la Sociedad Filosófica de Cambridge : (1) ' Sobre las leyes del equilibrio de fluidos análogos al fluido eléctrico ' (12 de noviembre de 1832); (2) ' Sobre la determinación de las atracciones de elipsoides de densidades variables ' (6 de mayo de 1833). Ambos artículos muestran un gran poder analítico, pero son más curiosos que interesantes en la práctica. El ensayo de Green de 1828 fue ignorado por los matemáticos hasta 1846, y antes de esa época la mayoría de sus teoremas importantes habían sido redescubiertos por Gauss, Chasles, Sturm y Thomson J. [5] Influyó en el trabajo de Lord Kelvin y James Clerk Maxwell .
El ensayo del matemático autodidacta supuso uno de los mayores avances que se produjeron en la teoría matemática de la electricidad hasta su época. " Sus investigaciones ", como ha observado Sir William Thomson , " han conducido a la proposición elemental que debe constituir el fundamento legítimo de toda estructura matemática perfecta que deba construirse a partir de los materiales proporcionados por las leyes experimentales de Coulomb. No sólo Proporcionan una explicación natural y completa de los hermosos experimentos cuantitativos que han sido tan interesantes en todos los tiempos para los electricistas prácticos, pero sugieren al matemático los métodos más simples y poderosos para abordar problemas que, si son atacados por la mera fuerza de los viejos métodos. análisis, debe haber quedado para siempre sin resolver ." [6]
Cerca del comienzo de las memorias se establece la célebre fórmula que conecta las integrales de superficie y volumen, que ahora se llama generalmente teorema de Green, y de la cual el resultado de Poisson sobre las distribuciones equivalentes de superficie (y volumen) de la magnetización es una aplicación particular. Al utilizar este teorema para investigar las propiedades del potencial, Green llegó a muchos resultados de notable belleza e interés. Sólo necesitamos mencionar, como ejemplo del poder de su método, lo siguiente: — Supongamos que hay una capa conductora hueca, limitada por dos superficies cerradas, y que se colocan varios cuerpos electrificados, algunos dentro y otros fuera de ella. ; y llamémonos sistema interior a la superficie interior y a los cuerpos interiores, y llamémonos sistema exterior a la superficie exterior y a los cuerpos exteriores. Entonces todos los fenómenos eléctricos del sistema interior, relativos a atracciones, repulsiones y densidades, serán los mismos que si no hubiera ningún sistema exterior, y la superficie interior fuera un conductor perfecto, puesto en comunicación con la tierra; y todos los del sistema exterior serán iguales como si el sistema interior no existiera, y la superficie exterior fuera un conductor perfecto, conteniendo una cantidad de electricidad igual a la totalidad de la originalmente contenida en la propia cáscara y en todos los cuerpos interiores. Será evidente que para entonces la electrostática había alcanzado un estado de desarrollo en el que sólo se podían esperar mayores progresos en la superestructura matemática, a menos que los experimentos sacaran a la luz inesperadamente fenómenos de un carácter enteramente nuevo. [4]
Una de las aplicaciones más simples de estos teoremas fue perfeccionar la teoría de la ampolla de Leyden , resultado que (si exceptuamos la acción peculiar del medio sólido aislante, descubierto desde entonces por Faraday ) debemos a su genio. También ha demostrado cómo se puede inventar un número infinito de formas de conductores, de modo que la distribución de la electricidad en equilibrio en cada uno de ellos pueda expresarse en términos algebraicos finitos: un inmenso avance en la ciencia, si consideramos que la distribución de la electricidad en un solo conductor esférico, un conductor elipsoidal no influenciado y dos esferas que se influyen mutuamente fueron los únicos casos resueltos por Poisson y, de hecho, los únicos casos concebidos como solucionables por los escritores matemáticos. [6]
