Espacio ultraconectado

Propiedad de los espacios topológicos

En matemáticas , se dice que un espacio topológico es ultraconexo si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos que sean disjuntos . ^[1] De manera equivalente, un espacio es ultraconexo si y solo si los cierres de dos puntos distintos siempre tienen una intersección no trivial. Por lo tanto, ningún espacio T 1 con más de un punto es ultraconexo. ^[2]

Propiedades

Todo espacio ultraconexo es conexo por trayectorias (pero no necesariamente conexo por arcos ). Si y son dos puntos de y es un punto en la intersección , la función definida por si , y si , es una trayectoria continua entre y . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(t)=a}$ ${\displaystyle 0\leq t<1/2}$ ${\displaystyle f(1/2)=p}$ ${\displaystyle f(t)=b}$ ${\displaystyle 1/2<t\leq 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Todo espacio ultraconexo es normal , compacto en el punto límite y pseudocompacto . ^[1]

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de espacios topológicos ultraconectados.

• Un conjunto con la topología indiscreta .
• El espacio Sierpiński .
• Un conjunto con la topología de puntos excluidos .
• La topología de orden correcto en la línea real. ^[3]

Véase también

• Espacio hiperconectado

Notas

1. PlanetMath
2. Steen y Seebach, sección. 4, págs. 29-30
3. Steen & Seebach, ejemplo n.° 50, pág. 74

Referencias

• Este artículo incorpora material de Ultraconnected space en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (edición Dover).