El límite de Tsirelson

Límite superior teórico para las correlaciones no locales en mecánica cuántica

Un límite de Tsirelson es un límite superior para las correlaciones mecánico-cuánticas entre eventos distantes. Dado que la mecánica cuántica viola las desigualdades de Bell (es decir, no puede ser descrita por una teoría de variables ocultas locales ), una pregunta natural que se plantea es cuán grande puede ser la violación. La respuesta es precisamente el límite de Tsirelson para la desigualdad de Bell particular en cuestión. En general, este límite es menor que el límite que se obtendría si se consideraran teorías más generales, solo limitadas por la "no señalización" (es decir, que no permiten la comunicación más rápida que la luz), y se ha dedicado mucha investigación a la pregunta de por qué es así.

Los límites de Tsirelson reciben su nombre de Boris S. Tsirelson (o Cirel'son, en una transliteración diferente ), el autor del artículo ^[1] en el que se derivó el primero.

Límite para la desigualdad CHSH

El primer límite de Tsirelson se derivó como un límite superior de las correlaciones medidas en la desigualdad CHSH . Establece que si tenemos cuatro observables dicotómicos ( hermíticos ) , , , (es decir, dos observables para Alice y dos para Bob ) con resultados tales que para todos , entonces ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle +1,-1}$ ${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.}$

A modo de comparación, en el caso clásico (o caso realista local) el límite superior es 2, mientras que si se permite cualquier asignación arbitraria de , es 4. El límite de Tsirelson ya se alcanza si Alice y Bob realizan cada uno mediciones en un qubit , el sistema cuántico no trivial más simple. ${\displaystyle +1,-1}$

Existen varias pruebas de este límite, pero quizás la más esclarecedora se basa en la identidad de Khalfin-Tsirelson-Landau. Si definimos un observable

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

y , es decir, si los resultados de los observables son , entonces ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$ ${\displaystyle +1,-1}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

Si o , que puede considerarse como el caso clásico, ya se deduce que . En el caso cuántico, solo necesitamos notar que , y se deduce el límite de Tsirelson . ${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$ ${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$ ${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$

Otras desigualdades de Bell

Tsirelson también demostró que para cualquier desigualdad de Bell de correlación completa bipartita con m entradas para Alice y n entradas para Bob, la relación entre el límite de Tsirelson y el límite local es como máximo donde y es la constante de Grothendieck de orden d . ^[2] Nótese que dado que , este límite implica el resultado anterior sobre la desigualdad CHSH. ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$ ${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$ ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$ ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$

En general, obtener un límite de Tsirelson para una desigualdad de Bell dada es un problema difícil que debe resolverse caso por caso. Ni siquiera se sabe si es decidible. El método computacional más conocido para acotarla es una jerarquía convergente de programas semidefinidos , la jerarquía NPA, que en general no se detiene. ^{[3] [4]} Se conocen los valores exactos de algunas desigualdades de Bell más:

Para las desigualdades de Braunstein-Caves tenemos que

${\displaystyle \langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

Para las desigualdades WWŻB el límite de Tsirelson es

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

Para la desigualdad ^[5] el límite de Tsirelson no se conoce con exactitud, pero realizaciones concretas dan un límite inferior de ${\displaystyle I_{3322}}$0,250 875 384 514 , ^[6] y la jerarquía NPA proporciona un límite superior de0,250 875 384 513 9766 . ^[7] Se conjetura que solo los estados cuánticos de dimensión infinita pueden alcanzar el límite de Tsirelson.

Derivación de principios físicos

Se han dedicado importantes investigaciones a encontrar un principio físico que explique por qué las correlaciones cuánticas llegan sólo hasta el límite de Tsirelson y nada más. Se han encontrado tres de estos principios: la falta de ventaja para el cómputo no local, ^[8] la causalidad de la información ^[9] y la localidad macroscópica. ^[10] Es decir, si se pudiera lograr una correlación CHSH que excediera el límite de Tsirelson, se violarían todos estos principios. El límite de Tsirelson también se cumple si el experimento de Bell admite una medida cuántica fuertemente positiva. ^[11]

El problema de Tsirelson

Hay dos formas diferentes de definir el límite de Tsirelson de una expresión de Bell. Una exigiendo que las mediciones estén en una estructura de producto tensorial, y otra exigiendo solo que conmuten. El problema de Tsirelson es la cuestión de si estas dos definiciones son equivalentes. Más formalmente, sea

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

sea ​​una expresión de Bell, donde es la probabilidad de obtener resultados con los parámetros . El producto tensorial límite de Tsirelson es entonces el máximo del valor obtenido en esta expresión de Bell al realizar mediciones y en un estado cuántico : ${\displaystyle p(ab|xy)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

El límite conmutativo de Tsirelson es el supremo del valor obtenido en esta expresión de Bell al realizar mediciones y tal que en un estado cuántico : ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Dado que las álgebras de productos tensoriales en particular conmutan, . En dimensiones finitas, las álgebras conmutativas son siempre isomorfas a (sumas directas de) álgebras de productos tensoriales, ^[12] por lo que solo para dimensiones infinitas es posible que . El problema de Tsirelson es la cuestión de si para todas las expresiones de Bell . ${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$

Esta cuestión fue considerada por primera vez por Boris Tsirelson en 1993, donde afirmó sin pruebas que . ^{[13] Cuando} Antonio Acín le pidió una prueba en 2006, se dio cuenta de que la que tenía en mente no funcionaba y presentó la cuestión como un problema abierto. ^[14] Junto con Miguel Navascués y Stefano Pironio, Antonio Acín había desarrollado una jerarquía de programas semidefinidos, la jerarquía NPA, que convergía a la cota de Tsirelson conmutativa desde arriba, ^[4] y quería saber si también convergía a la cota de Tsirelson del producto tensorial , la más relevante físicamente. ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$

Dado que se puede producir una secuencia convergente de aproximaciones a desde abajo considerando estados y observables de dimensión finita, si , entonces este procedimiento se puede combinar con la jerarquía NPA para producir un algoritmo de detención para calcular el límite de Tsirelson, convirtiéndolo en un número computable (nótese que de forma aislada ninguno de los procedimientos se detiene en general). Por el contrario, si no es computable, entonces . En enero de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright y Yuen afirmaron haber demostrado que no es computable, resolviendo así el problema de Tsirelson en negativo; ^[15] Se ha demostrado que el problema de Tsirelson es equivalente al problema de incrustación de Connes , ^[16] por lo que la misma prueba también implica que el problema de incrustación de Connes es falso. ^[17] ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$ ${\displaystyle T_{t}}$

Véase también

• No localidad cuántica
• Teorema de Bell
• Paradoja del EPR
• Desigualdad de CHSH
• Pseudotelepatía cuántica

Referencias

1. Cirel'son, BS (1980). "Generalizaciones cuánticas de la desigualdad de Bell". Letters in Mathematical Physics . 4 (2): 93–100. Bibcode :1980LMaPh...4...93C. doi :10.1007/bf00417500. ISSN  0377-9017. S2CID  120680226.
2. Boris Tsirelson (1987). "Análogos cuánticos de las desigualdades de Bell. El caso de dos dominios separados espacialmente" (PDF) . Revista de Matemáticas Soviéticas . 36 (4): 557–570. doi :10.1007/BF01663472. S2CID  119363229.
3. Navascués, Miguel; Pironio, Stefano; Acín, Antonio (4 de enero de 2007). "Acotando el conjunto de correlaciones cuánticas". Physical Review Letters . 98 (1): 010401. arXiv : quant-ph/0607119 . Código Bibliográfico :2007PhRvL..98a0401N. doi :10.1103/physrevlett.98.010401. ISSN  0031-9007. PMID  17358458. S2CID  41742170.
4. M. Navascués; S. Pironio; A. Acín (2008). "Una jerarquía convergente de programas semidefinidos que caracterizan el conjunto de correlaciones cuánticas". New Journal of Physics . 10 (7): 073013. arXiv : 0803.4290 . Bibcode :2008NJPh...10g3013N. doi :10.1088/1367-2630/10/7/073013. S2CID  1906335.
5. Collins, Daniel; Gisin, Nicolas (1 de junio de 2003). "Una desigualdad de Bell relevante de dos qubits no equivalente a la desigualdad CHSH". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (5): 1775–1787. arXiv : quant-ph/0306129 . doi :10.1088/0305-4470/37/5/021. S2CID  55647659.
6. KF Pál; T. Vértesi (2010). "Violación máxima de la desigualdad I3322 usando sistemas cuánticos de dimensión infinita". Physical Review A . 82 : 022116. arXiv : 1006.3032 . doi :10.1103/PhysRevA.82.022116.
7. Rosset, Denis (2018). "SymDPoly: relajaciones de momentos adaptadas a la simetría para optimización polinómica no conmutativa". arXiv : 1808.09598 [quant-ph].
8. Linden, Noah; Popescu, Sandu; Short, Anthony J.; Winter, Andreas (30 de octubre de 2007). "No localidad cuántica y más allá: límites de la computación no local". Physical Review Letters . 99 (18): 180502. arXiv : quant-ph/0610097 . Código Bibliográfico :2007PhRvL..99r0502L. doi :10.1103/physrevlett.99.180502. ISSN  0031-9007. PMID  17995388.
9. Pawłowski, Marcin; Paterek, Tomasz; Kaszlikowski, Dagomir; Scarani, Valerio; Invierno, Andrés ; Żukowski, Marek (2009). "La causalidad de la información como principio físico". Naturaleza . 461 (7267): 1101–1104. arXiv : 0905.2292 . Código Bib :2009Natur.461.1101P. doi : 10.1038/naturaleza08400. ISSN  0028-0836. PMID  19847260. S2CID  4428663.
10. Navascués, Miguel; Wunderlich, Harald (11 de noviembre de 2009). "Una mirada más allá del modelo cuántico". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 466 (2115): 881–890. arXiv : 0907.0372 . doi : 10.1098/rspa.2009.0453 . ISSN  1364-5021.
11. Craig, David; Dowker, Fay ; Henson, Joe; Major, Seth; Rideout, David; Sorkin, Rafael D. (2007). "Un análogo de desigualdad de Bell en la teoría de la medida cuántica". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (3): 501–523. arXiv : quant-ph/0605008 . Bibcode :2007JPhA...40..501C. doi :10.1088/1751-8113/40/3/010. ISSN  1751-8113. S2CID  8706909.
12. Scholz, VB; Werner, RF (22 de diciembre de 2008). "El problema de Tsirelson". arXiv : 0812.4305 [matemáticas-ph].
13. Tsirelson, BS (1993). "Algunos resultados y problemas sobre desigualdades cuánticas de tipo Bell" (PDF) . Hadronic Journal Supplement . 8 : 329–345.
14. Tsirelson, B. «Inecuaciones de Bell y álgebras de operadores» . Consultado el 20 de enero de 2020 .
15. Z. Ji; A. Natarajan; T. Vidick; J. Wright; H. Yuen (2020). "MIP* = RE". arXiv : 2001.04383 [quant-ph].
16. M. Junge; M. Navascués; C. Palazuelos; D. Pérez-García; VB Scholz; RF Werner (2011). "El problema de incrustación de Connes y el problema de Tsirelson". Revista de Física Matemática . 52 (1): 012102. arXiv : 1008.1142 . Código Bib : 2011JMP....52a2102J. doi : 10.1063/1.3514538. S2CID  12321570.
17. Hartnett, Kevin (4 de marzo de 2020). "Cascadas de pruebas de la informática histórica a través de la física y las matemáticas". Revista Quanta .