Transformación con estrella

En matemáticas aplicadas , la transformada de estrella es una variación de tiempo discreto de la transformada de Laplace , llamada así por el asterisco o "estrella" en la notación habitual de las señales muestreadas. La transformada es un operador de una función de tiempo continuo , que se transforma en una función de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X^{*}(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {L}}[x^{*}(t)],\end{aligned}}}$

donde es una función peine de Dirac , con período de tiempo T. ${\displaystyle \delta _{T}(t)}$

La transformada con estrella es una abstracción matemática conveniente que representa la transformada de Laplace de una función muestreada por impulsos , que es la salida de un muestreador ideal , cuya entrada es una función continua, . ${\displaystyle x^{*}(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

La transformación con asterisco es similar a la transformación Z , con un simple cambio de variables, donde la transformación con asterisco se declara explícitamente en términos del período de muestreo (T), mientras que la transformación Z se realiza en una señal discreta y es independiente del período de muestreo. Esto hace que la transformación con asterisco sea una versión desnormalizada de la transformación Z unilateral , ya que restaura la dependencia del parámetro de muestreo  T.

Relación con la transformada de Laplace

Desde , donde: ${\displaystyle X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{*}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\cdot \delta _{T}(t)&=x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

Entonces, según el teorema de convolución , la transformación con asterisco es equivalente a la convolución compleja de y , por lo tanto: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\delta _{T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}}$

${\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{c-j\infty }^{c+j\infty }{X(p)\cdot {\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}\cdot dp}.}$

Esta integración lineal es equivalente a la integración en sentido positivo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos de X(s) en el semiplano izquierdo de p . El resultado de dicha integración (según el teorema del residuo ) sería:

${\displaystyle X^{*}(s)=\sum _{\lambda ={\text{poles of }}X(s)}\operatorname {Res} \limits _{p=\lambda }{\bigg [}X(p){\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}{\bigg ]}.}$

Alternativamente, la integración de línea antes mencionada es equivalente a la integración en sentido negativo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos infinitos de en el semiplano derecho de p . El resultado de dicha integración sería: ${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-T(s-p)}}}}$

${\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(s-j{\tfrac {2\pi }{T}}k\right)+{\frac {x(0)}{2}}.}$

Relación con la transformada Z

Dada una transformada Z , X ( z ), la transformada con asterisco correspondiente es una simple sustitución :

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$  ^[2]

Esta sustitución restablece la dependencia de T .

Es intercambiable, ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle e^{sT}=z}}$  

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle s={\frac {\ln(z)}{T}}}}$  

Propiedades de la transformación estrellada

Propiedad 1:   es periódica en con periodo ${\displaystyle X^{*}(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j{\tfrac {2\pi }{T}}.}$

${\displaystyle X^{*}(s+j{\tfrac {2\pi }{T}}k)=X^{*}(s)}$

Propiedad 2:  Si tiene un polo en , entonces debe tener polos en , donde ${\displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle s=s_{1}}$ ${\displaystyle X^{*}(s)}$ ${\displaystyle s=s_{1}+j{\tfrac {2\pi }{T}}k}$ ${\displaystyle \scriptstyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Citas

1. Jury, Eliahu I. Análisis y síntesis de sistemas de control de datos muestreados ., Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, Parte I: Comunicación y Electrónica, 73.4, 1954, pág. 332-346.
2. Bech, pág. 9

Referencias

• Bech, Michael M. "Teoría del control digital" (PDF) . Universidad de AALBORG . Consultado el 5 de febrero de 2014 .
• Gopal, M. (marzo de 1989). Ingeniería de control digital . John Wiley & Sons. ISBN 0852263082.
• Phillips y Nagle, "Análisis y diseño de sistemas de control digital", 3.ª edición, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-309832-X