Una matriz de Frobenius es un tipo especial de matriz cuadrada del análisis numérico . Una matriz es una matriz de Frobenius si tiene las tres propiedades siguientes:
La siguiente matriz es un ejemplo.
Las matrices de Frobenius son invertibles . La inversa de una matriz de Frobenius es a su vez una matriz de Frobenius, igual a la matriz original con signos cambiados fuera de la diagonal principal. La inversa del ejemplo anterior es, por tanto:
Las matrices de Frobenius reciben su nombre en honor a Ferdinand Georg Frobenius .
El término matriz de Frobenius también puede utilizarse para una forma matricial alternativa que difiere de una matriz identidad solo en los elementos de una sola fila que precede a la entrada diagonal de esa fila (a diferencia de la definición anterior, en la que la matriz difiere de la matriz identidad en una sola columna debajo de la diagonal). La siguiente matriz es un ejemplo de esta forma alternativa que muestra una matriz de 4 por 4 con su tercera fila que difiere de la matriz identidad.
Un nombre alternativo para esta última forma de matrices de Frobenius es matriz de transformación de Gauss , en honor a Carl Friedrich Gauss . [1] Se utilizan en el proceso de eliminación gaussiana para representar las transformaciones gaussianas.
Si se multiplica una matriz por la izquierda (multiplicación por la izquierda) con una matriz de transformación de Gauss, a la fila dada de la matriz se le suma una combinación lineal de las filas anteriores (en el ejemplo que se muestra arriba, a la fila 3 se le suma una combinación lineal de las filas 1 y 2). La multiplicación con la matriz inversa resta la combinación lineal correspondiente de la fila dada. Esto corresponde a una de las operaciones elementales de eliminación gaussiana (además de la operación de transponer las filas y multiplicar una fila por un múltiplo escalar).
