Trairasika

Trairāśika es el término sánscrito utilizado por los astrónomos y matemáticos indios de la era premoderna para denotar lo que se conoce como la " regla de tres " en matemáticas elementales y álgebra. En la literatura matemática contemporánea, el término "regla de tres" se refiere al principio de multiplicación cruzada que establece que si entonces o . La antigüedad del término trairāśika está atestiguada por su presencia en el manuscrito Bakhshali , un documento que se cree que fue compuesto en los primeros siglos de la era común. ^[1] ${\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}$ $ad=bc$ $a={\frac {bc}{d}}$

ElTraidorasregla

Básicamente trairāśika es una regla que ayuda a resolver el siguiente problema:

"Si se produce ¿qué se produciría?" ^[1]

{\estilo de visualización p}

{\estilo de visualización h}

{\estilo de visualización i}

Aquí se habla de pramāṇa ( « argumento»), phala («fruto») e ichcā («requisición»). El pramāṇa y el icchā deben ser de la misma denominación, es decir, del mismo tipo o clase, como pesos, dinero, tiempo o cantidades de los mismos objetos. El phala puede ser de una denominación diferente. También se supone que el phala aumenta en proporción al pramāṇa . La cantidad desconocida se llama icchā-phala , es decir, el phala correspondiente al icchā . Āryabhaṭa da la siguiente solución al problema: ^[1] ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización h}$ ${\estilo de visualización i}$

"En trairāśika , el phala se multiplica por ichcā y luego se divide por pramāṇa . El resultado es icchā-phala ".

En notaciones matemáticas modernas, ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}.$

Las cuatro cantidades se pueden presentar en fila de la siguiente manera:

pramāṇa | fala | ichca | icchā-phala (desconocido)

Entonces la regla para obtener icchā-phala puede enunciarse así: “Multiplica los dos del medio y divide por el primero”.

Ejemplos ilustrativos

1. Este ejemplo está tomado de Bījagaṇita , un tratado sobre álgebra del matemático indio Bhāskara II (c. 1114-1185). ^[2]

Problema: "Si se obtienen dos pala -s y medio (una unidad de peso) de azafrán por tres séptimos de una nishca (una unidad de dinero); digamos instantáneamente, el mejor de los comerciantes, ¿cuánto se obtiene por nueve nishca -s?"

Solución: pramāṇa = nishca , phala = pala -s de azafrán, icchā = nishca -s y tenemos que encontrar el icchā-phala . pala -s de azafrán.

{\frac {3}{7}}

2{\frac {1}{2}}

{\estilo de visualización 9}

{\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {(2{ \tfrac {1}{2}})\times 9}{\tfrac {3}{7}}}=52{\tfrac {1}{2}}

2. Este ejemplo está tomado de Yuktibhāṣā , una obra sobre matemáticas y astronomía, compuesta por Jyesthadeva de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala alrededor de 1530. ^[3]

Problema: "Cuando se sabe que 5 medidas de cáscara producen 2 medidas de arroz, ¿cuántas medidas de arroz se obtendrán con 12 medidas de cáscara?"

Solución: pramāṇa = 5 medidas de arroz, phala = 2 medidas de arroz, icchā = 12 medidas de arroz y tenemos que encontrar las icchā-phala . medidas de arroz.

{\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{icchā}}}{\text{pramāṇa}}}={\tfrac {2\times 12}{5}}={\tfrac {24}{5}}

Vyasta-trairāśika:Regla de tres inversa

Las cuatro cantidades asociadas con trairāśika se presentan en fila de la siguiente manera:

pramāṇa | fala | ichca | icchā-phala (desconocido)

En trairāśika se suponía que el phala aumenta con pramāṇa . Si se supone que el phala disminuye con el aumento de pramāṇa , la regla para hallar icchā-phala se llama vyasta-trairāśika (o viloma-trairāśika ) o "regla de tres inversa". ^[4] En vyasta-trairāśika la regla para hallar el icchā-phala puede enunciarse de la siguiente manera suponiendo que las cantidades relevantes se escriben en una fila como se indicó anteriormente.

"En las tres cantidades conocidas, multiplica el término medio por el primero y divide por el último."

En notaciones matemáticas modernas tenemos, ${\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}.$

Ejemplo ilustrativo

Este ejemplo es de Bījagaṇita : ^[2]

Problema: "Si una esclava de dieciséis años trae treinta y dos nishca -s, ¿cuánto costará una de veinte?"

Solución: pramāṇa = 16 años, phala 32 = nishca -s, ichcā = 20 años. Se supone que phala disminuye con pramāṇa . De ahí nishca -s.

{\text{icchā-phala }}={\tfrac {{\text{phala}}\times {\text{pramāṇa}}}{\text{icchā}}}={\tfrac {32\times 16}{20}}=25{\tfrac {3}{5}}

Proporción compuesta

En trairāśika sólo hay un pramāṇa y el phala correspondiente . Se requiere encontrar el phala correspondiente a un valor dado de ichcā para el pramāṇa . Las cantidades relevantes también pueden representarse de la siguiente forma:

Los matemáticos indios han generalizado este problema al caso en que hay más de un pramāṇa . Que haya n pramāṇa -s pramāṇa -1, pramāṇa -2,. . ., pramāṇa - n y el correspondiente phala . Que los iccha -s correspondientes a los pramāṇa -s sean iccha -1, iccha -2,. . ., iccha - n . El problema es encontrar los phala correspondientes a estos iccha -s. Esto se puede representar en la siguiente forma tabular:

Este es el problema de la proporción compuesta. El ichcā-phala está dado por ${\text{ ichcā-phala }}={\tfrac {({\text{ ichcā-1 }}\times {\text{ ichcā-2 }}\times \cdots \times {\text{ ichcā-n }})\times {\text{ phala }}}{{\text{ pramāṇa-1 }}\times {\text{ pramāṇa-2 }}\times \cdots \times {\text{ pramāṇa-n }}}}.$

Puesto que existen cantidades, el método para resolver el problema puede denominarse "regla de ". En su Bǐjagaṇita, Bhāskara II ha analizado algunos casos especiales de este principio general, como la "regla de cinco" ( pañjarāśika ), la "regla de siete" ( saptarāśika ), la "regla de nueve" ("navarāśika") y la "regla de once" ( ekādaśarāśika ). $2n+1$ $2n+1$

Ejemplo ilustrativo

Este ejemplo de la regla del nueve está tomado de Bǐjagaṇita : ^[2]

Problema: Si treinta bancos de doce dedos de espesor, cuadrados de cuatro de ancho y catorce codos de largo cuestan cien [nishcas]; dime, amigo mío, ¿qué precio se alcanzará por catorce bancos, que son cuatro menos en cada dimensión?

Solución: Los datos se presentan en la siguiente forma tabular:

iccha-phala = . ${\tfrac {(14\times 8\times 12\times 10)\times 100}{30\times 12\times 16\times 14}}={\tfrac {100}{6}}=16{\tfrac {2}{3}}$

Importancia de laTraidoras

Todos los astrónomos y matemáticos indios han colocado el principio trairāśika en un pedestal muy alto. Por ejemplo, Bhaskara II, en su Līlāvatī , incluso compara el principio trairāśika con el mismísimo Dios.

"Así como el ser que libera del sufrimiento las mentes de sus adoradores y que es la única causa de la producción de este universo, impregna el todo y lo hace con sus diversas manifestaciones, como mundos, paraísos, montañas, ríos, dioses, demonios, hombres, árboles" y ciudades; así también toda esta colección de instrucciones para los cálculos está impregnada por la regla de tres términos." ^[5]

Lectura adicional

Para aplicaciones avanzadas de trairāśika en astronomía, véase: MS Sriram (2022). "Non-trivial Use of the "Trairāśika" (Proportionality Principle) in Indian Astronomy Texts". En Sita Sundar Ram; Ramakalyani V (eds.). Historia y desarrollo de las matemáticas en la India (PDF) . Nueva Delhi: Misión Nacional de Manuscritos. págs. 337–353 . Consultado el 20 de junio de 2024 ..
Para una discusión completa sobre trairāśika , véase: Bibhutibhushan Datta y Avadhesh Narayan Singh (1962). History of Hindu Mathematics: A Source Book Parts I and II. Mumbai: Asia Publishing House. págs. 203–218 . Consultado el 21 de junio de 2024 .
Para aplicaciones de trairāśika en la arquitectura india, véase: P. Ramakrishnan (septiembre de 1998). Matemáticas indias relacionadas con la arquitectura y otras áreas con especial referencia a Kerala (PDF) . Cochin, India: Cochin University of Science and Technology. págs. 72–92 . Consultado el 21 de junio de 2024 .(Capítulo V Trairāśika (Regla de Tres) en la Arquitectura Tradicional)

Referencias

^ abc Bibhutibhushan Datta y Avadhesh Narayan Singh (1962). Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, partes I y II. Mumbai: Asia Publishing House. p. 204. Consultado el 21 de junio de 2024 .
^ abc HT Colebrooke (1817). Álgebra con aritmética y medición del sánscrito de Brhmagupta y Bhaskara. Londres: John Murray. p. 33. Consultado el 21 de junio de 2024 .
^ Jyesthadeva (2008). Gaṇita-Yukti-Bhāṣā (Fundamentos de la astronomía matemática) de Jyeṣṭhadeva: Volumen I: Matemáticas . Nueva Delhi: Hindustan Book Agency. pág. 169. ISBN 81-85931-81-X.
^ Bibhutibhushan Datta y Avadhesh Narayan Singh (1962). Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, partes I y II. Mumbai: Asia Publishing House. pág. 207. Consultado el 21 de junio de 2024 .
^ HT Colebrooke (1817). Álgebra con aritmética y medición del sánscrito de Brhmagupta y Bhaskara. Londres: John Murray. pág. 111. Consultado el 21 de junio de 2024 .