Juego topológico

Juego matemático en un espacio topológico

En matemáticas , un juego topológico es un juego infinito de información perfecta jugado entre dos jugadores en un espacio topológico . Los jugadores eligen objetos con propiedades topológicas como puntos, conjuntos abiertos , conjuntos cerrados y recubrimientos abiertos . El tiempo es generalmente discreto, pero las jugadas pueden tener longitudes transfinitas y se han propuesto extensiones al tiempo continuo. Las condiciones para que un jugador gane pueden involucrar nociones como el cierre topológico y la convergencia.

Resulta que algunas construcciones topológicas fundamentales tienen una contraparte natural en los juegos topológicos; ejemplos de estos son la propiedad de Baire , los espacios de Baire , las propiedades de completitud y convergencia, las propiedades de separación, las propiedades de recubrimiento y base, las imágenes continuas, los conjuntos de Suslin y los espacios singulares. Al mismo tiempo, algunas propiedades topológicas que surgen naturalmente en los juegos topológicos pueden generalizarse más allá de un contexto de teoría de juegos : en virtud de esta dualidad, los juegos topológicos se han utilizado ampliamente para describir nuevas propiedades de los espacios topológicos y para poner las propiedades conocidas bajo una luz diferente. También existen vínculos estrechos con los principios de selección .

El término juego topológico fue introducido por primera vez por Claude Berge , ^{[1] [2] [3]} quien definió las ideas básicas y el formalismo en analogía con los grupos topológicos . Un significado diferente para el juego topológico , el concepto de "propiedades topológicas definidas por juegos", fue introducido en el artículo de Rastislav Telgársky, ^[4] y más tarde "espacios definidos por juegos topológicos"; ^[5] este enfoque se basa en analogías con juegos matriciales, juegos diferenciales y juegos estadísticos, y define y estudia los juegos topológicos dentro de la topología. Después de más de 35 años, el término "juego topológico" se generalizó y apareció en varios cientos de publicaciones. El artículo de revisión de Telgársky ^[6] enfatiza el origen de los juegos topológicos a partir del juego de Banach-Mazur .

Hay otros dos significados de juegos topológicos, pero se utilizan con menos frecuencia.

• El término juego topológico fue introducido por Leon Petrosjan ^[7] en el estudio de los juegos antagónicos de persecución-evasión . Las trayectorias en estos juegos topológicos son continuas en el tiempo.
• Los juegos de Nash (los juegos Hex ), los juegos de Milnor (los juegos Y), los juegos de Shapley (juegos del plano proyectivo) y los juegos de Gale ( juegos de Bridg-It ) fueron llamados juegos topológicos por David Gale en su discurso invitado [1979/80]. El número de movimientos en estos juegos es siempre finito. El descubrimiento o redescubrimiento de estos juegos topológicos se remonta a los años 1948-49.

Configuración básica para un juego topológico

Se pueden definir muchos marcos para juegos posicionales infinitos de información perfecta.

La configuración típica es un juego entre dos jugadores, I y II , que eligen alternativamente subconjuntos de un espacio topológico X. En la ronda n , el jugador I juega un subconjunto I _n de X y el jugador II responde con un subconjunto J _n . Hay una ronda para cada número natural n y, después de que se juegan todas las rondas, el jugador I gana si la secuencia

Yo ₀ , J ₀ , Yo ₁ , J ₁ ,...

satisface alguna propiedad, y de lo contrario el jugador II gana.

El juego se define por la propiedad objetivo y los movimientos permitidos en cada paso. Por ejemplo, en el juego de Banach–Mazur BM ( X ), los movimientos permitidos son subconjuntos abiertos no vacíos del movimiento anterior, y el jugador I gana si . ${\displaystyle \bigcap _{n}I_{n}\neq \emptyset }$

Esta configuración típica se puede modificar de varias maneras. Por ejemplo, en lugar de ser un subconjunto de X , cada movimiento podría consistir en un par donde y . Alternativamente, la secuencia de movimientos podría tener una longitud de un número ordinal distinto de ω . ${\displaystyle (I,p)}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$ ${\displaystyle p\in x}$

Definiciones y notación

• Una jugada del juego es una secuencia de movimientos legales.

Yo ₀ , J ₀ , Yo ₁ , J ₁ ,...

El resultado de una jugada es una victoria o una derrota para cada jugador.

• Una estrategia para el jugador P es una función definida sobre cada secuencia finita legal de movimientos del oponente de P. Por ejemplo, una estrategia para el jugador I es una función s de secuencias ( J ₀ , J ₁ , ..., J _n ) a subconjuntos de X . Se dice que un juego se juega de acuerdo con la estrategia s si cada movimiento del jugador P es el valor de s en la secuencia de movimientos anteriores de su oponente. Entonces, si s es una estrategia para el jugador I , la jugada

${\displaystyle s(\lambda ),J_{0},s(J_{0}),J_{1},s(J_{0},J_{1}),J_{2},s(J_{0},J_{1},J_{2}),\ldots }$

es de acuerdo con la estrategia s . (Aquí λ denota la secuencia vacía de movimientos).

• Se dice que una estrategia del jugador P es ganadora si cada jugada de acuerdo con la estrategia s da como resultado una victoria para el jugador P , para cualquier secuencia de movimientos legales del oponente de P. Si el jugador P tiene una estrategia ganadora para el juego G , esto se denota . Si cualquiera de los jugadores tiene una estrategia ganadora para G , entonces se dice que G está determinado. Del axioma de elección se deduce que hay juegos topológicos no determinados. ${\displaystyle P\uparrow G}$
• Una estrategia para P es estacionaria si depende únicamente del último movimiento del oponente de P ; una estrategia esMarkov si depende tanto del último movimiento del oponentecomodel número ordinal del movimiento.

El juego de Banach-Mazur

El primer juego topológico estudiado fue el juego de Banach-Mazur, que es un ejemplo motivador de las conexiones entre las nociones de teoría de juegos y las propiedades topológicas.

Sea Y un espacio topológico y sea X un subconjunto de Y , llamado conjunto ganador . El jugador I comienza el juego eligiendo un subconjunto abierto no vacío , y el jugador II responde con un subconjunto abierto no vacío . El juego continúa de esta manera, y los jugadores eligen alternativamente un subconjunto abierto no vacío de la jugada anterior. Después de una secuencia infinita de movimientos, uno por cada número natural, el juego termina y I gana si y solo si ${\displaystyle I_{0}\subseteq Y}$ ${\displaystyle J_{0}\subseteq I_{0}}$

${\displaystyle X\cap \bigcap _{n\in \omega }I_{n}\neq \emptyset .}$

Las conexiones topológicas y de teoría de juegos demostradas por el juego incluyen:

• II tiene una estrategia ganadora en el juego si y sólo si X es de la primera categoría en Y (un conjunto es de la primera categoría o magro si es la unión contable de conjuntos no densos en ninguna parte ).
• Si Y es un espacio métrico completo , entonces I tiene una estrategia ganadora si y sólo si X coincide con algún subconjunto abierto no vacío de Y.
• Si X tiene la propiedad de Baire en Y , entonces el juego está determinado.

Otros juegos topológicos

Otros juegos topológicos notables son:

• el juego binario introducido por Ulam , una modificación del juego de Banach-Mazur;
• el juego de Banach , jugado en un subconjunto de la línea real;
• el juego de Choquet —relacionado con los espacios tamizables;
• el juego de puntos abiertos — en el que el jugador I elige puntos y el jugador II elige vecindarios abiertos de ellos;
• Juegos de selección: en cada ronda, el jugador I elige una colección (topológica) y el jugador II elige un miembro o subconjunto finito de esa colección. Véase Principio de selección § Juegos topológicos .

A lo largo de los años se han introducido muchos más juegos para estudiar, entre otros: el principio de correducción de Kuratowski ; propiedades de separación y reducción de conjuntos en clases proyectivas cerradas; tamices de Luzin ; teoría de conjuntos descriptivos invariantes ; conjuntos de Suslin ; el teorema de grafos cerrados ; espacios en red ; MP-espacios; el axioma de elección ; funciones computables . Los juegos topológicos también se han relacionado con ideas de lógica matemática , teoría de modelos , fórmulas infinitamente largas , cadenas infinitas de cuantificadores alternados, ultrafiltros , conjuntos parcialmente ordenados y el número cromático de grafos infinitos.

Para una lista más larga y una descripción más detallada, véase el artículo de investigación de Telgársky de 1987. ^[6]

Véase también

• Rompecabezas topológico

Referencias

1. C. Berge, Juegos topológicos con información perfecta. Contribuciones a la teoría de juegos, vol. 3, 165–178. Annals of Mathematics Studies, núm. 39. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
2. C. Berge, Théorie des jeux à n personnes, Mém. des Sc. Mat., Gauthier-Villars, París 1957.
3. AR Pears, Sobre juegos topológicos, Proc. Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), 165–171.
4. R. Telgársky, Sobre propiedades topológicas definidas por juegos, Temas de topología (Proc. Colloq. Keszthely 1972), Colloq. Matemáticas. Soc. János Bolyai, vol. 8, Holanda Septentrional, Ámsterdam 1974, 617–624.
5. R. Telgársky, Espacios definidos por juegos topológicos, Fund. Math. 88 (1975), 193–223.
6. R. Telgársky, "Juegos topológicos: en el 50º aniversario del juego de Banach-Mazur", Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), 227–276.
7. LA Petrosjan, Juegos topológicos y sus aplicaciones a problemas de seguimiento. I. SIAM J. Control 10 (1972), 194–202.