Tiempo de residencia (estadísticas)

En estadística, el tiempo de residencia es el tiempo promedio que tarda un proceso aleatorio en alcanzar un determinado valor límite, generalmente un límite alejado de la media.

Definición

Supongamos que $y (t) es un$ proceso estocástico escalar real con valor inicial $y (t 0) = y 0$ , media $y avg$ y dos valores críticos ${y avg - y min, y avg + y max$ }, donde $y min > 0$ e y $max > 0$ . Definamos el tiempo de primer paso de $y (t)$ desde dentro del intervalo ( $- y min, y max)$ $como$

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{ \operatorname {avg} }+y_{\max }\}\},

donde "inf" es el ínfimo . Este es el tiempo más pequeño después del tiempo inicial $t 0$ en el que $y (t)$ es igual a uno de los valores críticos que forman el límite del intervalo, suponiendo que $y 0$ está dentro del intervalo.

Como $y (t)$ procede aleatoriamente desde su valor inicial hasta el límite, $τ(y 0)$ es en sí misma una variable aleatoria . La media de $τ(y 0)$ es el tiempo de residencia , ^[1]^[2]

{\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Para un proceso gaussiano y un límite alejado de la media, el tiempo de residencia es igual al inverso de la frecuencia de excedencia del valor crítico más pequeño, ^[2]

{\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),

donde la frecuencia de excedencia $N$ es

$σ y 2$ es la varianza de la distribución gaussiana,

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _ {0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},

y $Φ y (f)$ es la densidad espectral de potencia de la distribución gaussiana sobre una frecuencia $f$ .

Generalización a múltiples dimensiones

Supongamos que en lugar de ser escalar, $y (t)$ tiene dimensión $p$ , o $y (t) \in ℝ p$ . Definamos un dominio $Ψ \subset ℝ p$ que contenga $y avg$ y tenga un límite suave $\partialΨ$ . En este caso, definamos el tiempo de primer paso de $y (t)$ desde dentro del dominio $Ψ$ como

\tau(y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.

En este caso, este ínfimo es el tiempo más pequeño en el que $y (t)$ está en el límite de $Ψ$ en lugar de ser igual a uno de dos valores discretos, suponiendo $que y 0$ está dentro de $Ψ$ . La media de este tiempo es el tiempo de residencia , ^[3]^[4]

{\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Tiempo de residencia logarítmico

El tiempo de residencia logarítmico es una variación adimensional del tiempo de residencia. Es proporcional al logaritmo natural de un tiempo de residencia normalizado. Teniendo en cuenta la exponencial en la ecuación ( 1 ), el tiempo de residencia logarítmico de un proceso gaussiano se define como ^[5]^[6]

{\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.

Esto está estrechamente relacionado con otro descriptor adimensional de este sistema, el número de desviaciones estándar entre el límite y la media, $min(y min, y max)/ σ y$ .

En general, el factor de normalización $N 0$ puede ser difícil o imposible de calcular, por lo que las cantidades adimensionales pueden ser más útiles en las aplicaciones.

Véase también

Notas

^ Meerkov y Runolfsson 1987, págs. 1734-1735.
^ ab Richardson et al. 2014, pág. 2027.
^ Meerkov y Runolfsson 1986, pág. 494.
^ Meerkov y Runolfsson 1987, pág. 1734.
^ Richardson y otros. 2014, pág. 2028.
^ Meerkov y Runolfsson 1986, pág. 495, un enfoque alternativo para definir el tiempo de residencia logarítmico y calcular $N 0$

Referencias

Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1986). Aiming Control . Actas de la 25.ª Conferencia sobre Decisión y Control. Atenas: IEEE. págs. 494–498.
Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1987). Output Aiming Control . Actas de la 26.ª Conferencia sobre Decisión y Control. Los Ángeles: IEEE. págs. 1734–1739.
Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M. ; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). "Márgenes de seguridad para el vuelo a través de ráfagas estocásticas". Revista de orientación, control y dinámica . 37 (6). AIAA: 2026–2030. doi :10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .