Teorema del peso máximo

En la teoría de representaciones , una rama de las matemáticas, el teorema del mayor peso clasifica las representaciones irreducibles de un álgebra de Lie semisimple compleja . ^{[1] [2]} Existe un teorema estrechamente relacionado que clasifica las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conexo . ^[3] El teorema establece que existe una biyección ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lambda \mapsto [V^{\lambda }]}$

del conjunto de "elementos integrales dominantes" al conjunto de clases de equivalencia de representaciones irreducibles de o . La diferencia entre los dos resultados está en la noción precisa de "integral" en la definición de un elemento integral dominante. Si está simplemente conectado, esta distinción desaparece. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El teorema fue demostrado originalmente por Élie Cartan en su artículo de 1913. ^[4] La versión del teorema para un grupo de Lie compacto se debe a Hermann Weyl . El teorema es una de las piezas clave de la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples .

Declaración

Caso de álgebra de Lie

Sea un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita con subálgebra de Cartan . Sea el sistema de raíces asociado . Decimos entonces que un elemento es integral ^[5] si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

es un entero para cada raíz . A continuación, elegimos un conjunto de raíces positivas y decimos que un elemento es dominante si para todos . Un elemento es integral dominante si es tanto dominante como integral. Finalmente, si y están en , decimos que es mayor ^[6] que si se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$

Un peso de una representación de se denomina entonces peso máximo si es mayor que cualquier otro peso de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V}$

El teorema del mayor peso establece entonces: ^[2]

• Si es una representación irreducible de dimensión finita de , entonces tiene un peso máximo único, y este peso máximo es la integral dominante. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$
• Si dos representaciones irreducibles de dimensión finita tienen el mismo peso máximo, son isomorfas.
• Para cada elemento integral dominante , existe una representación irreducible de dimensión finita con el mayor peso . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

La parte más difícil es la última: la construcción de una representación irreducible de dimensión finita con un peso máximo prescrito.

El caso del grupo compacto

Sea un grupo de Lie compacto conexo con álgebra de Lie y sea la complejización de . Sea un toro maximalista en con álgebra de Lie . Entonces es una subálgebra de Cartan de , y podemos formar el sistema raíz asociado . La teoría procede entonces de la misma manera que en el caso del álgebra de Lie, con una diferencia crucial: la noción de integralidad es diferente. Específicamente, decimos que un elemento es analíticamente integral ^[7] si ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

es un entero siempre que

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

donde es el elemento identidad de . Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, ^[8] pero puede haber elementos integrales en el sentido del álgebra de Lie que no sean analíticamente integrales. Esta distinción refleja el hecho de que si no es simplemente conexo, puede haber representaciones de que no provengan de representaciones de . Por otro lado, si es simplemente conexo, las nociones de "integral" e "integral analíticamente" coinciden. ^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El teorema del mayor peso para las representaciones de ^[9] es entonces el mismo que en el caso del álgebra de Lie, excepto que "integral" se reemplaza por "analíticamente integral". ${\displaystyle K}$

Pruebas

Hay al menos cuatro pruebas:

• Demostración original de Hermann Weyl desde el punto de vista del grupo compacto, ^[10] basada en la fórmula del carácter de Weyl y el teorema de Peter-Weyl .
• La teoría de módulos de Verma contiene el teorema del peso más alto. Este es el enfoque adoptado en muchos libros de texto estándar (por ejemplo, Humphreys y la Parte II de Hall).
• El teorema de Borel-Weil-Bott construye una representación irreducible como el espacio de secciones globales de un fibrado lineal amplio; como consecuencia, resulta el teorema de mayor peso. (El enfoque utiliza bastante geometría algebraica, pero permite una demostración muy rápida).
• El enfoque teórico invariante : se construyen representaciones irreducibles como subrepresentaciones de una potencia tensorial de las representaciones estándar. Este enfoque se debe esencialmente a H. Weyl y funciona bastante bien para los grupos clásicos.

Véase también

• Clasificación de representaciones de álgebras de Lie en dimensión finita
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo
• Pesos en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples

Notas

1. Dixmier 1996, Teorema 7.2.6.
2. Hall 2015 Teoremas 9.4 y 9.5
3. Hall 2015 Teorema 12.6
4. Knapp, AW (2003). "Trabajo revisado: Grupos matriciales: una introducción a la teoría de grupos de Lie, Andrew Baker; Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales, Wulf Rossmann". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 446–455. doi :10.2307/3647845. JSTOR  3647845.
5. Sala 2015 Sección 8.7
6. Sala 2015 Sección 8.8
7. Hall 2015 Definición 12.4
8. Propuesta 12.7 del Salón 2015
9. Hall 2015 Corolario 13.20
10. Hall 2015 Capítulo 12

Referencias

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 11, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, Sr.  0498740
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.