Teorema de correspondencia

En teoría de grupos , el teorema de correspondencia ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} (también el teorema de red [ ^9] y de forma variada y ambigua el tercer y cuarto teorema de isomorfismo ^{[6] [10]} ) establece que si es un subgrupo normal de un grupo , entonces existe una biyección del conjunto de todos los subgrupos de que contiene a , sobre el conjunto de todos los subgrupos del grupo cociente . En términos generales, la estructura de los subgrupos de es exactamente la misma que la estructura de los subgrupos de que contienen a , con un colapso en el elemento identidad . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

En concreto, si

G es un grupo,

${\displaystyle N\triangleleft G}$, un subgrupo normal de G ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A<G\}}$, el conjunto de todos los subgrupos A de G que contienen N , y

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S<G/N\}}$, el conjunto de todos los subgrupos de G / N ,

entonces existe una función biyectiva tal que ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \phi (A)=A/N}$a pesar de ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

Uno más tiene que si A y B están en entonces ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• ${\displaystyle A\subseteq B}$si y sólo si ; ${\displaystyle A/N\subseteq B/N}$
• si entonces , donde es el índice de A en B (el número de clases laterales bA de A en B ); ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}$ ${\displaystyle |B:A|}$
• ${\displaystyle \langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,}$¿Dónde está el subgrupo de generado por? ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A\cup B;}$
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}$, y
• ${\displaystyle A}$es un subgrupo normal de si y solo si es un subgrupo normal de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A/N}$ ${\displaystyle G/N}$

Esta lista está lejos de ser exhaustiva. De hecho, la mayoría de las propiedades de los subgrupos se conservan en sus imágenes bajo la biyección sobre subgrupos de un grupo cociente.

En términos más generales, existe una conexión de Galois monótona entre la red de subgrupos de (que no necesariamente contiene a ) y la red de subgrupos de : el adjunto inferior de un subgrupo de está dado por y el adjunto superior de un subgrupo de es un dado por . El operador de cierre asociado en subgrupos de es ; el operador de núcleo asociado en subgrupos de es la identidad. Se puede encontrar una prueba del teorema de correspondencia aquí. ${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle f_{*}(K/N)=K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\bar {H}}=HN}$ ${\displaystyle G/N}$

Resultados similares se aplican a anillos , módulos , espacios vectoriales y álgebras . En términos más generales, un resultado análogo que concierne a relaciones de congruencia en lugar de subgrupos normales se aplica a cualquier estructura algebraica .

Véase también

• Celosía modular

Referencias

1. Derek John Scott Robinson (2003). Introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter. pág. 64. ISBN 978-3-11-017544-8.
2. JF Humphreys (1996). Un curso de teoría de grupos . Oxford University Press. pág. 65. ISBN 978-0-19-853459-4.
3. HE Rose (2009). Un curso sobre grupos finitos . Springer. pág. 78. ISBN 978-1-84882-889-6.
4. JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Grupos y representaciones . Springer. pág. 11. ISBN. 978-1-4612-0799-3.
5. I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pág. 35. ISBN 978-0-8218-4799-2.
6. Joseph Rotman (1995). Introducción a la teoría de grupos (4.ª ed.). Springer. pp. 37-38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
7. W. Keith Nicholson (2012). Introducción al álgebra abstracta (4.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
8. Steven Roman (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Springer Science & Business Media. págs. 113-115. ISBN. 978-0-8176-8301-6.
9. WR Scott: Teoría de grupos , Prentice Hall, 1964, pág. 27.
10. Jonathan K. Hodge; Steven Schlicker; Ted Sundstrom (2013). Álgebra abstracta: un enfoque basado en la investigación . CRC Press. pág. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.