Teorema de la hoja compacta de Novikov

Resultado sobre la foliación de variedades 3-compactas

En matemáticas , el teorema de la hoja compacta de Novikov , llamado así en honor a Sergei Novikov , establece que

Una foliación de codimensión uno de una variedad 3-compacta cuyo espacio de cobertura universal no es contráctil debe tener una hoja compacta.

Teorema de la hoja compacta de Novikov paraS3

Teorema: Una foliación de codimensión uno lisa de la esfera 3 S ³ tiene una hoja compacta. La hoja es un toro T ² que limita un toro sólido con la foliación de Reeb .

El teorema fue demostrado por Sergei Novikov en 1964. Anteriormente, Charles Ehresmann había conjeturado que cada foliación suave de codimensión uno en S ³ tenía una hoja compacta, lo que se sabía que era cierto para todos los ejemplos conocidos; en particular, la foliación de Reeb tiene una hoja compacta que es  T ² .

Teorema de la hoja compacta de Novikov para cualquierMETRO3

En 1965, Novikov demostró el teorema de la hoja compacta para cualquier  M ³ :

Teorema: Sea M ^{3 una 3-variedad cerrada con una foliación} F de codimensión uno suave  . Supóngase que se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

1. el grupo fundamental es finito, ${\displaystyle \pi _{1}(M^{3})}$
2. el segundo grupo de homotopía , ${\displaystyle \pi _{2}(M^{3})\neq 0}$
3. Existe una hoja tal que el mapa inducido por inclusión tiene un núcleo no trivial . ${\displaystyle L\in F}$ ${\displaystyle \pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})}$

Entonces F tiene una hoja compacta de género g  ≤ 1.

En cuanto a la cobertura de espacios:

Una foliación de codimensión uno de una variedad 3-compacta cuyo espacio de cobertura universal no es contráctil debe tener una hoja compacta.

Referencias

• S. Novikov . La topología de las foliaciones//Trudy Moskov. Estera. Obshch, 1965, v. 14, pág. 248–278.[1]
• I. Tamura . Topología de foliaciones — AMS, v.97, 2006.
• D. Sullivan , Ciclos para el estudio dinámico de variedades foliadas y variedades complejas, Invent. Math. , 36 (1976), pág. 225–255. [2]