Teorema de independencia de la suma proporcional de Lukacs

En estadística , el teorema de independencia de la suma de proporciones de Lukács es un resultado que se utiliza al estudiar proporciones, en particular la distribución de Dirichlet . Recibe su nombre en honor a Eugene Lukács . ^[1]

El teorema

Si Y ₁ e Y _{2 son} variables aleatorias independientes no degeneradas , entonces las variables aleatorias

${\displaystyle W=Y_{1}+Y_{2}{\text{ and }}P={\frac {Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

se distribuyen independientemente si y solo si tanto Y ₁ como Y ₂ tienen distribuciones gamma con el mismo parámetro de escala.

Corolario

Supóngase que Y _i ,  i  = 1, ...,  k son variables aleatorias positivas, independientes y no degeneradas. Entonces, cada una de las k  − 1 variables aleatorias 

${\displaystyle P_{i}={\frac {Y_{i}}{\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}}}$

es independiente de

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}$

si y sólo si todas las Y _i tienen distribuciones gamma con el mismo parámetro de escala. ^[2] 

Referencias

1. Lukacs, Eugene (1955). "Una caracterización de la distribución gamma". Anales de estadística matemática . 26 (2): 319–324. doi : 10.1214/aoms/1177728549 .
2. Mosimann, James E. (1962). "Sobre la distribución multinomial compuesta, la distribución multivariada y la correlación entre proporciones". Biometrika . 49 (1 y 2): 65–82. doi :10.1093/biomet/49.1-2.65. JSTOR  2333468. ${\displaystyle \beta }$

• Ng, WN; Tian, ​​GL; Tang, ML (2011). Distribuciones de Dirichlet y relacionadas . John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-68819-9.página 64. Teorema de independencia de suma-proporcional de Lukács y el corolario con una demostración.