Teorema de incrustación de Skorokhod

En matemáticas y teoría de la probabilidad , el teorema de incrustación de Skorokhod es uno o ambos de dos teoremas que permiten considerar cualquier conjunto adecuado de variables aleatorias como un proceso de Wiener ( movimiento browniano ) evaluado en un conjunto de tiempos de parada . Ambos resultados reciben su nombre del matemático ucraniano A. V. Skorokhod .

El primer teorema de incrustación de Skorokhod

Sea X una variable aleatoria de valor real con valor esperado 0 y varianza finita ; sea W un proceso de Wiener canónico de valor real. Entonces existe un tiempo de detención (con respecto a la filtración natural de W ), τ , tal que W _τ tiene la misma distribución que X ,

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ]=\operatorname {E} [X^{2}]}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X^{4}].}$

Segundo teorema de incrustación de Skorokhod

Sea X ₁ , X ₂ , ... una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con valor esperado 0 y varianza finita, y sea

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

Entonces hay una secuencia de tiempos de parada τ ₁ ≤ τ ₂ ≤ ... tales que tienen las mismas distribuciones conjuntas que las sumas parciales S _n y τ ₁ , τ ₂ − τ ₁ , τ ₃ − τ ₂ , ... son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que satisfacen ${\displaystyle W_{\tau _{n}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\operatorname {E} [X_{1}^{2}]}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X_{1}^{4}].}$

Referencias

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.(Teoremas 37.6, 37.7)