Teorema en geometría algebraica.
En geometría algebraica , el teorema de estructura de Chevalley establece que un grupo algebraico conexo suave sobre un cuerpo perfecto tiene un único subgrupo algebraico afín conexo suave normal tal que el cociente es una variedad abeliana . Fue demostrado por Chevalley (1960) (aunque ya había anunciado el resultado en 1953), Barsotti (1955a, 1955b) y Rosenlicht (1956).
La prueba original de Chevalley, y las otras pruebas tempranas de Barsotti y Rosenlicht, utilizaron la idea de mapear el grupo algebraico a su variedad albanesa . Las pruebas originales se basaron en el libro de Weil Fundamentos de geometría algebraica y son difíciles de seguir para cualquiera que no esté familiarizado con los fundamentos de Weil, pero Conrad (2002) posteriormente presentó una exposición de la prueba de Chevalley en terminología de teoría de esquemas.
Sobre campos no perfectos todavía hay un subgrupo lineal normal conexo más pequeño tal que el cociente es una variedad abeliana, pero el subgrupo lineal no necesita ser suave.
Una consecuencia del teorema de Chevalley es que cualquier grupo algebraico sobre un campo es cuasi-proyectivo.
Ejemplos
Hay varias construcciones naturales que dan grupos algebraicos conexos que no son ni afines ni completos.
- Si C es una curva con un divisor efectivo m , entonces tiene asociado un jacobiano generalizado J m . Este es un grupo algebraico conmutativo que se asigna a la variedad jacobiana J 0 de C con núcleo afín. Por lo tanto, J es una extensión de una variedad abeliana por un grupo algebraico afín. En general, esta extensión no se divide.
- El componente conexo reducido del esquema de Picard relativo de un esquema propio sobre un cuerpo perfecto es un grupo algebraico, que en general no es ni afín ni propio.
- El componente conexo de la fibra cerrada de un modelo de Neron sobre un anillo de valoración discreto es un grupo algebraico, que en general no es ni afín ni propio.
- En el caso de los grupos analíticos, algunos de los análogos obvios del teorema de Chevalley fallan. Por ejemplo, el producto del grupo aditivo C y cualquier curva elíptica tiene una densa colección de subgrupos cerrados (analíticos pero no algebraicos) isomorfos a C , por lo que no existe un único "subgrupo afín máximo", mientras que el producto de dos copias del grupo multiplicativo C* es isomorfo (analíticamente pero no algebraicamente) a una extensión no dividida de cualquier curva elíptica dada por C.
Aplicaciones
El teorema de estructura de Chevalley se utiliza en la prueba del criterio de Néron-Ogg-Shafarevich .
Referencias
- Barsotti, Iacopo (1955a), "Teoremas de estructura para variedades de grupos", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie 4, 38 : 77–119, doi : 10.1007/bf02413515 , ISSN 0003-4622, MR 0071849
- Barsotti, Iacopo (1955b), "Un teorema di struttura per le varietà gruppali", Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 18 : 43–50, SEÑOR 0076427
- Chevalley, C. (1960), "Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 39 : 307–317, ISSN 0021-7824, MR 0126447
- Conrad, Brian (2002), "Una prueba moderna del teorema de Chevalley sobre grupos algebraicos" (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 17 (1): 1–18, ISSN 0970-1249, MR 1906417
- Rosenlicht, Maxwell (1956), "Algunos teoremas básicos sobre grupos algebraicos", American Journal of Mathematics , 78 : 401–443, doi :10.2307/2372523, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372523, MR 0082183
