Teorema de bucle

Generalización del lema de Dehn en la topología de 3-variedades

En matemáticas, en la topología de 3-variedades , el teorema del bucle es una generalización del lema de Dehn . El teorema del bucle fue demostrado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de la esfera .

Una versión simple y útil del teorema de bucles establece que si para alguna variedad tridimensional M con borde ∂M existe una función

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)}$

con no nulo homotópico en , entonces hay una incrustación con la misma propiedad. ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$ ${\displaystyle \partial M}$

La siguiente versión del teorema de bucles, debida a John Stallings , se da en los tratados estándar de 3 variedades (como Hempel o Jaco):

Sea una 3-variedad y sea una superficie conexa en . Sea un subgrupo normal tal que . Sea una función continua tal que y Entonces existe una incrustación tal que y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle N\subset \pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } (\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M))-N\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f\colon D^{2}\to M}$ ${\displaystyle f(\partial D^{2})\subset S}$ ${\displaystyle [f|\partial D^{2}]\notin N.}$ ${\displaystyle g\colon D^{2}\to M}$ ${\displaystyle g(\partial D^{2})\subset S}$ ${\displaystyle [g|\partial D^{2}]\notin N.}$

Además, si uno comienza con una función f en posición general, entonces para cualquier vecindad U del conjunto de singularidad de f , podemos encontrar una g con imagen que se encuentra dentro de la unión de la imagen de f y U.

La prueba de Stalling utiliza una adaptación, debida a Whitehead y Shapiro, de la "construcción de la torre" de Papakyriakopoulos. La "torre" se refiere a una secuencia especial de recubrimientos diseñados para simplificar los levantamientos de la función dada. La misma construcción de la torre fue utilizada por Papakyriakopoulos para demostrar el teorema de la esfera (3-variedades) , que establece que una función no trivial de una esfera en una 3-variedad implica la existencia de una incrustación no trivial de una esfera. También existe una versión del lema de Dehn para discos minimales debida a Meeks y S.-T. Yau, que también se basa fundamentalmente en la construcción de la torre.

Existe una prueba de la primera versión del teorema de bucles que no utiliza la construcción en torre. Esto fue realizado básicamente hace 30 años por Friedhelm Waldhausen como parte de su solución al problema verbal de las variedades de Haken ; aunque reconoció que esto proporcionaba una prueba del teorema de bucles, no escribió una prueba detallada. El ingrediente esencial de esta prueba es el concepto de jerarquía de Haken . Las pruebas fueron escritas posteriormente por Klaus Johannson, Marc Lackenby e Iain Aitchison con Hyam Rubinstein .

Corolario

Un corolario fácil del teorema de bucles es el siguiente: Sea una variedad 3-variedad irreducible, orientable y compacta. Entonces es incompresible si y solo si es inyectiva para cada componente de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial M}$

Referencias

• W. Jaco, Conferencias sobre topología de 3 variedades , serie de conferencias regionales de AMS en Matemáticas 43.
• J. Hempel, 3-variedades , Princeton University Press 1976.
• Hatcher, Notas sobre topología básica de 3 variedades , disponible en línea