Teorema de Wendel

En la teoría de la probabilidad geométrica , el teorema de Wendel , llamado así por James G. Wendel, da la probabilidad de que N puntos distribuidos uniformemente al azar en una hiperesfera de dimensión 1 se encuentren todos en la misma "mitad" de la hiperesfera. En otras palabras, se busca la probabilidad de que exista algún semiespacio con el origen en su frontera que contenga todos los N puntos. El teorema de Wendel dice que la probabilidad es ^[1] ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle p_{n,N}=2^{-N+1}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}.}$

La afirmación equivale a la probabilidad de que el origen no esté contenido en la envoltura convexa de los N puntos y es válida para cualquier distribución de probabilidad en R ⁿ que sea simétrica en torno al origen. En particular, esto incluye todas las distribuciones que sean rotacionalmente invariantes en torno al origen. ${\displaystyle p_{n,N}}$

Se trata esencialmente de una reformulación probabilística del teorema de Schläfli , que sostiene que los hiperplanos en posición general lo dividen en regiones. ^[2] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}}$

Referencias

1. Wendel, James G. (1962), "Un problema de probabilidad geométrica", Math. Scand. , 11 : 109-111
2. Cover, Thomas M.; Efron, Bradley (febrero de 1967). "Probabilidad geométrica y puntos aleatorios en una hiperesfera". Anales de estadística matemática . 38 (1): 213–220. doi : 10.1214/aoms/1177699073 . ISSN  0003-4851.