Teorema de van Schooten

Sobre las líneas que unen los vértices de un triángulo equilátero a un punto de su circunferencia circunscrita

${\displaystyle |PA|=|PB|+|PC|}$

El teorema de Van Schooten , que recibe su nombre del matemático holandés Frans van Schooten , describe una propiedad de los triángulos equiláteros . En él se afirma:

Para un triángulo equilátero con un punto en su círculo circunscrito, la longitud del más largo de los tres segmentos de línea que conectan con los vértices del triángulo es igual a la suma de las longitudes de los otros dos. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle PA,PB,PC}$ ${\displaystyle P}$

El teorema es una consecuencia del teorema de Ptolomeo para cuadriláteros concíclicos . Sea la longitud del lado del triángulo equilátero y el segmento de línea más largo. Los vértices del triángulo juntos forman un cuadrilátero concíclico y, por lo tanto, el teorema de Ptolomeo da como resultado: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}}$

Dividiendo la última ecuación por se obtiene el teorema de Van Schooten. ${\displaystyle a}$

Referencias

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes . MAA, 2010, ISBN  9780883853481 , pp. 102–103
• Doug French: Enseñanza y aprendizaje de la geometría . Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , págs. 62–64 
• Raymond Viglione: Demostración sin palabras: el teorema de van Schooten . Mathematics Magazine, vol. 89, n.º 2 (abril de 2016), pág. 132
• Jozsef Sandor: Sobre la geometría de los triángulos equiláteros. Forum Geometricorum, Volumen 5 (2005), págs. 107-117

Enlaces externos

• Teorema de Van Schooten en cut-the-knot.org