Teorema de Parthasarathy

Dice cuando una clase particular de juegos en el cuadro unitario tiene un valor mixto

En matemáticas , y en particular en el estudio de juegos en el cuadrado unitario, el teorema de Parthasarathy es una generalización del teorema minimax de Von Neumann . Afirma que una clase particular de juegos tiene un valor mixto, siempre que al menos uno de los jugadores tenga una estrategia restringida a distribuciones absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue (en otras palabras, a uno de los jugadores se le prohíbe usar una estrategia pura ).

El teorema se atribuye al matemático indio Thiruvenkatachari Parthasarathy .

Teorema

Sea y represente el intervalo unitario ; denota el conjunto de distribuciones de probabilidad en ( definidas de manera similar); y denota el conjunto de distribuciones absolutamente continuas en ( definidas de manera similar). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{Y}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{Y}}$

Supongamos que está acotado en el cuadrado unitario y que es continuo excepto posiblemente en un número finito de curvas de la forma (con ) donde son funciones continuas. Para , define ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle y=\phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}}$

${\displaystyle k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x)\,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d\mu (x).}$

Entonces

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).}$

Esto equivale a afirmar que el juego inducido por tiene un valor. Tenga en cuenta que un jugador ( WLOG ) tiene prohibido utilizar una estrategia pura. ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$

Parthasarathy continúa exhibiendo un juego en el que

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )}$

que por tanto no tiene valor. No hay contradicción porque en este caso ninguno de los jugadores está restringido a distribuciones absolutamente continuas (y la demostración de que el juego no tiene valor requiere que ambos jugadores utilicen estrategias puras).

Referencias

• T. Parthasarathy 1970. Sobre Juegos sobre el cuadrado unitario , SIAM , volumen 19, número 2.