Teorema de Parthasarathy

Indica cuándo una clase particular de juegos en el cuadrado unitario tiene un valor mixto

En matemáticas –y en particular en el estudio de los juegos en el cuadrado unitario– el teorema de Parthasarathy es una generalización del teorema minimax de Von Neumann . Afirma que una clase particular de juegos tiene un valor mixto, siempre que al menos uno de los jugadores tenga una estrategia que esté restringida a distribuciones absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue (en otras palabras, uno de los jugadores tiene prohibido utilizar una estrategia pura ).

El teorema se atribuye al matemático indio Thiruvenkatachari Parthasarathy .

Teorema

Sea y el intervalo unitario ; denote el conjunto de distribuciones de probabilidad en (con definido de manera similar); y denote el conjunto de distribuciones absolutamente continuas en (con definido de manera similar). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{Y}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{Y}}$

Supóngase que está acotada en el cuadrado unitario y que es continua excepto posiblemente en un número finito de curvas de la forma (con ) donde son funciones continuas. Para , defina ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle y=\phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}}$

${\displaystyle k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x)\,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d\mu (x).}$

Entonces

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).}$

Esto es equivalente a afirmar que el juego inducido por tiene un valor. Nótese que a un jugador ( WLOG ) se le prohíbe utilizar una estrategia pura. ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$

Parthasarathy continúa exhibiendo un juego en el que

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )}$

que, por lo tanto, no tiene ningún valor. No hay contradicción porque en este caso ninguno de los jugadores está restringido a distribuciones absolutamente continuas (y la demostración de que el juego no tiene ningún valor requiere que ambos jugadores utilicen estrategias puras).

Referencias

• T. Parthasarathy 1970. Sobre juegos sobre el cuadrado unitario , SIAM , volumen 19, número 2.