Teorema de Palm-Khintchine

Teorema en la teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , el teorema de Palm-Khintchine , obra de Conny Palm y Aleksandr Khinchin , expresa que una gran cantidad de procesos de renovación , no necesariamente poissonianos , al combinarse ("superponerse") tendrán propiedades poissonianas. ^[1]

Se utiliza para generalizar el comportamiento de usuarios o clientes en la teoría de colas . También se utiliza en el modelado de confiabilidad y confiabilidad de la informática y las telecomunicaciones .

Teorema

Según Heyman y Sobel (2003), ^[1] el teorema establece que la superposición de un gran número de procesos independientes de renovación del equilibrio, cada uno con una intensidad finita, se comporta asintóticamente como un proceso de Poisson:

Sean procesos de renovación independientes y sea la superposición de estos procesos. Denotemos por el tiempo entre la primera y la segunda época de renovación en proceso . Definir el enésimo proceso de conteo, y . ${\displaystyle \{N_{i}(t),t\geq 0\},i=1,2,\ldots ,m}$ ${\displaystyle \{N(t),t>0\}}$ ${\displaystyle X_{jm}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N_{jm}(t)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F_{jm}(t)=P(X_{jm}\leq t)}$ ${\displaystyle \lambda _{jm}=1/(E((X_{jm)}))}$

Si se cumplen las siguientes suposiciones

1) Para todos los suficientemente grandes : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{1m}+\lambda _{m}+\cdots +\lambda _{mm}=\lambda <\infty }$

2) Dado , para todos y suficientemente grande : para todos ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F_{jm}(t)<\varepsilon }$ ${\displaystyle j}$

entonces la superposición de los procesos de conteo se aproxima a un proceso de Poisson como . ${\displaystyle N_{0m}(t)=N_{1m}(t)+N_{m}(t)+\cdots +N_{mm}(t)}$ ${\displaystyle m\to \infty }$

Ver también

• ley de los grandes números

Referencias

1. Daniel P. Heyman, Matthew J. Sobel (2003). "5.8 Superposición de Procesos de Renovación". Modelos estocásticos en investigación de operaciones: procesos estocásticos y características operativas .