Teorema de Musselman

Sobre un punto común de ciertos círculos definidos por un triángulo arbitrario

En geometría euclidiana , el teorema de Musselman es una propiedad de ciertos círculos definidos por un triángulo arbitrario .

En concreto, sea un triángulo, y , , y sus vértices . Sean , , y los vértices del triángulo de reflexión , obtenido reflejando cada vértice de en el lado opuesto. ^[1] Sea el circuncentro de . Considérense los tres círculos , , y definidos por los puntos , , y , respectivamente. El teorema dice que estos tres círculos de Musselman se encuentran en un punto , que es el inverso con respecto al circuncentro de del conjugado isogonal o el centro de nueve puntos de . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle S_{B}}$ ${\displaystyle S_{C}}$ ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$ ${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$ ${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

El punto común es el punto en la lista de centros de triángulos de Clark Kimberling . ^{[2] [3]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{1157}}$

Historia

El teorema fue propuesto como un problema avanzado por John Rogers Musselman y René Goormaghtigh en 1939, ^[4] y presentaron una prueba en 1941. ^[5] Goormaghtigh enunció y demostró una generalización de este resultado. ^[6]

Generalización de Goormaghtigh

La generalización del teorema de Musselman por Goormaghtigh no menciona explícitamente los círculos.

Como antes, sean , , y los vértices de un triángulo , y su circuncentro. Sea el ortocentro de , es decir, la intersección de sus tres líneas de altura . Sean , , y tres puntos en los segmentos , , y , tales que . Considérense las tres líneas , , y , perpendiculares a , , y a través de los puntos , , y , respectivamente. Sean , , y las intersecciones de estas perpendiculares con las líneas , , y , respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle OC}$ ${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t}$ ${\displaystyle L_{A}}$ ${\displaystyle L_{B}}$ ${\displaystyle L_{C}}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle OC}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle P_{B}}$ ${\displaystyle P_{C}}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$

Joseph Neuberg había observado en 1884 que los tres puntos , , y se encuentran en una línea común . ^[7] Sea la proyección del circuncentro sobre la línea , y el punto sobre tal que . Goormaghtigh demostró que es la inversa con respecto al circuncírculo de del conjugado isogonal del punto sobre la línea de Euler , tal que . ^{[8] [9]} ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle P_{B}}$ ${\displaystyle P_{C}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle ON}$ ${\displaystyle ON'/ON=t}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle OH}$ ${\displaystyle QH/QO=2t}$

Referencias

1. D. Grinberg (2003) Sobre el punto Kosnita y el triángulo de reflexión . Forum Geometricorum , volumen 3, páginas 105-111
2. Eric W. Weisstein (), Teorema de Musselman . documento en línea, consultado el 5 de octubre de 2014.
3. Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers , sección X(1157) . Consultado el 8 de octubre de 2014.
4. John Rogers Musselman y René Goormaghtigh (1939), Problema avanzado 3928. American Mathematical Monthly , volumen 46, página 601
5. John Rogers Musselman y René Goormaghtigh (1941), Solución al problema avanzado 3928. American Mathematics Monthly, volumen 48, páginas 281-283
6. Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza , página 10. Documento en línea, consultado el 5 de octubre de 2014.
7. Joseph Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre . Según Nguyen, Neuberg también enuncia el teorema de Goormaghtigh, pero de forma incorrecta.
8. Khoa Lu Nguyen (2005), Una prueba sintética de la generalización de Goormaghtigh del teorema de Musselman . Foro Geométricorum , volumen 5, páginas 17-20
9. Ion Pătrașcu y Cătălin Barbu (2012), Dos nuevas demostraciones del teorema de Goormaghtigh . Revista internacional de geometría, volumen 1, páginas 10 a 19, ISSN  2247-9880