Conjetura de Herzog-Schönheim

En matemáticas , la conjetura de Herzog-Schönheim es un problema combinatorio en el área de la teoría de grupos , planteado por Marcel Herzog y Jochanan Schönheim en 1974. ^[1]

Sea un grupo , y sea ${\displaystyle G}$

${\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\}}$

sea ​​un sistema finito de clases laterales izquierdas de subgrupos de . ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ ${\displaystyle G}$

Herzog y Schönheim conjeturaron que si forma una partición de con , entonces los índices (finitos) no pueden ser distintos. Por el contrario, si se permiten índices repetidos, entonces la partición de un grupo en clases laterales es fácil: si es cualquier subgrupo de con índice entonces se puede particionar en clases laterales izquierdas de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle [G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k=[G:H]<\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H}$

Subgrupos subnormales

En 2004, Zhi-Wei Sun demostró un caso especial de la conjetura de Herzog-Schönheim en el caso donde son subnormales en . ^[2] Un lema básico en la prueba de Sun establece que si son subnormales y de índice finito en , entonces ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}]}$

y por lo tanto

${\displaystyle P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i=1}^{k}P([G:G_{i}]),}$

donde denota el conjunto de divisores primos de . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n}$

Teorema de Mirsky-Newman

Cuando es el grupo aditivo de los números enteros, las clases laterales de son las progresiones aritméticas . En este caso, la conjetura de Herzog-Schönheim establece que todo sistema de recubrimiento , una familia de progresiones aritméticas que juntas cubren todos los números enteros, debe cubrir algunos números enteros más de una vez o incluir al menos un par de progresiones que tengan la misma diferencia entre sí. Este resultado fue conjeturado en 1950 por Paul Erdős y demostrado poco después por Leon Mirsky y Donald J. Newman . Sin embargo, Mirsky y Newman nunca publicaron su prueba. La misma prueba también fue encontrada independientemente por Harold Davenport y Richard Rado . ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$

En 1970, en la olimpiada matemática soviética se planteó un problema de coloración geométrica equivalente al teorema de Mirsky-Newman: supongamos que los vértices de un polígono regular están coloreados de tal manera que cada clase de color forma por sí misma los vértices de un polígono regular. Entonces, existen dos clases de color que forman polígonos congruentes. ^[3]

Referencias

1. Herzog, M.; Schönheim, J. (1974), "Problema de investigación nº 9", Canadian Mathematical Bulletin , 17 : 150Como lo cita Sun (2004).
2. Sun, Zhi-Wei (2004), "Sobre la conjetura de Herzog-Schönheim para cubrimientos uniformes de grupos", Journal of Algebra , 273 (1): 153–175, arXiv : math/0306099 , doi :10.1016/S0021-8693(03)00526-X, MR  2032455, S2CID  15736220.
3. Soifer, Alexander (2008), "Capítulo 1. Una historia de polígonos coloreados y progresiones aritméticas", The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators , Nueva York: Springer, págs. 1–9, ISBN 978-0-387-74640-1.