Teorema de Miquel

Se refiere a 3 círculos que pasan por ternas de puntos en los vértices y lados de un triángulo.

Diagrama que muestra círculos que pasan por los vértices de un triángulo ABC y los puntos A´ , B´ y C´ en los lados adyacentes del triángulo que se intersecan en un punto común , M.

El teorema del pivote para varios triángulos

El teorema de Miquel es un resultado en geometría , llamado así en honor a Auguste Miquel, ^[1] relativo a la intersección de tres círculos, cada uno de ellos dibujado a través de un vértice de un triángulo y dos puntos en sus lados adyacentes. Es uno de los varios resultados relativos a los círculos en la geometría euclidiana debido a Miquel, cuyo trabajo fue publicado en la revista recién fundada por Liouville, Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formalmente, sea ABC un triángulo, con puntos arbitrarios A´ , B´ y C´ en los lados BC , AC y AB respectivamente (o sus extensiones ). Dibujemos tres circunferencias circunscritas ( círculos de Miquel ) a los triángulos AB´C´ , A´BC´ y A´B´C . El teorema de Miquel establece que estos círculos se cortan en un único punto M , llamado punto de Miquel . Además, los tres ángulos MA´B , MB´C y MC´A (verdes en el diagrama) son todos iguales, al igual que los tres ángulos suplementarios MA´C , MB´A y MC´B . ^{[2] [3]}

El teorema (y su corolario) se deduce de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos . Supongamos que los círculos circunscritos de A'B'C y AB'C' se encuentran en . Por lo tanto, BA'MC' es cíclico como se desea. ${\displaystyle M\neq B'.}$ ${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$

Teorema del pivote

Si en el enunciado del teorema de Miquel los puntos A´ , B´ y C´ forman un triángulo (es decir, no son colineales ) entonces el teorema fue denominado teorema del pivote en Forder (1960, p. 17). ^[4] (En el diagrama estos puntos están etiquetados como P , Q y R .)

Si A´ , B´ y C´ son colineales entonces el punto de Miquel está en el circuncírculo de ∆ABC y viceversa, si el punto de Miquel está en este circuncírculo, entonces A´ , B´ y C´ están en una línea. ^[5]

Coordenadas trilineales del punto Miquel

Si las distancias fraccionarias de A´ , B´ y C´ a lo largo de los lados BC ( a ), CA ( b ) y AB ( c ) son d _a , d _b y d _c , respectivamente, el punto Miquel, en coordenadas trilineales ( x  : y  : z ), viene dado por:

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

donde d' _a = 1 - d _a , etc.

En el caso d _a = d _b = d _c = ½ el punto de Miquel es el circuncentro (cos α : cos β : cos γ) .

Un inverso del teorema de Miquel

El teorema se puede invertir para decir: para tres círculos que se intersecan en M , se puede trazar una línea desde cualquier punto A en un círculo, a través de su intersección C´ con otro para dar B (en la segunda intersección). B está entonces similarmente conectado, a través de la intersección en A´ del segundo y tercer círculos, dando el punto C . Los puntos C , A y el punto de intersección restante, B´ , serán entonces colineales, y el triángulo ABC siempre pasará por las intersecciones de los círculos A´ , B´ y C´ .

Triángulo inscrito similar

Si el triángulo inscrito XYZ es semejante al triángulo de referencia ABC , entonces el punto M de concurrencia de los tres círculos es fijo para todos los XYZ . ^{[6] : p. 257}

Teorema del cuadrilátero de Miquel y Steiner

Los círculos circunscritos de los cuatro triángulos de un cuadrilátero completo se encuentran en un punto M. ^[7] En el diagrama anterior , estos son ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE y ∆BCE.

Este resultado fue anunciado, en dos líneas, por Jakob Steiner en la edición de 1827/1828 de los Annales de Mathématiques de Gergonne , ^[8] pero Miquel dio una prueba detallada. ^[7]

Teorema del pentágono de Miquel

Sea ABCDE un pentágono convexo. Prolongamos todos los lados hasta que se encuentren en cinco puntos F, G, H, I, K y trazamos los círculos circunscritos de los cinco triángulos CFD, DGE, EHA, AIB y BKC. Luego, los segundos puntos de intersección (distintos de A, B, C, D, E), es decir, los nuevos puntos M, N, P, R y Q, son concíclicos (se encuentran en un círculo). ^[9] Véase el diagrama.

El resultado inverso se conoce como el teorema de los cinco círculos .

Teorema de los seis círculos de Miquel

Dados los puntos A , B , C y D de un círculo y los círculos que pasan por cada par de puntos adyacentes, las intersecciones alternadas de estos cuatro círculos en W , X , Y y Z se encuentran entonces en un círculo común. Esto se conoce como el teorema de los seis círculos . ^[10] También se lo conoce como el teorema de los cuatro círculos y, aunque generalmente se atribuye a Jakob Steiner, la única prueba publicada conocida fue dada por Miquel. ^[11] David G. Wells se refiere a esto como el teorema de Miquel . ^[12]

Versión tridimensional del teorema de Miquel

El caso tridimensional: las cuatro esferas interceptan otras esferas en círculos negros.

Existe también un análogo tridimensional, en el que las cuatro esferas que pasan por un punto de un tetraedro y puntos en los bordes del tetraedro se intersecan en un punto común. ^[3]

Véase también

• Teoremas del círculo de Clifford
• Teorema del haz
• Configuración de Miquel

Notas

1. Un profesor de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012, p. 94
2. Miquel, Auguste (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 : 485–487, archivado desde el original el 13 de febrero de 2013
3. Wells 1991, p. 184 - Wells se refiere al teorema de Miquel como el teorema del pivote
4. Coxeter y Greitzer 1967, pág. 62
5. Smart 1997, pág. 177
6. Francisco Javier García Capitán, "Lugar geométrico de los centroides de triángulos inscritos semejantes", Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
7. Ostermann y Wanner 2012, pág. 96
8. Steiner, J. (1827/1828), "Preguntas propuestas. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de Mathématiques , 18 : 302–304{{citation}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
9. Ostermann y Wanner 2012, págs. 96–97
10. Pedoe 1988, pág. 424
11. Ostermann y Wanner 2012, pág. 352
12. Wells 1991, págs. 151-2

Referencias

• Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , Nueva Biblioteca Matemática , vol. 19, Washington, DC : Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl0166.16402 ​
• Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), La geometría según su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl0856.00005 ​

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Miquel". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de los cinco círculos de Miquel". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del pentagrama de Miquel". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del pivote". MundoMatemático .
• El teorema de Miquels como caso especial de una generalización del teorema de Napoleón en Dynamic Geometry Sketches