Teorema de Kaplansky sobre las formas cuadráticas

Resultado sobre la representación simultánea de primos mediante formas cuadráticas

En matemáticas , el teorema de Kaplansky sobre las formas cuadráticas es un resultado de la representación simultánea de números primos mediante formas cuadráticas . Fue demostrado en 2003 por Irving Kaplansky . ^[1]

Enunciado del teorema

El teorema de Kaplansky establece que un primo p congruente con 1 módulo 16 es representable por ambos o ninguno de x ²  + 32 y ² y x ²  + 64 y ² , mientras que un primo p congruente con 9 módulo 16 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.

Esto es notable ya que los números primos representados por cada una de estas formas individualmente no son descriptibles por condiciones de congruencia. ^[2]

Prueba

La prueba de Kaplansky utiliza los hechos de que 2 es una cuarta potencia módulo p si y solo si p es representable por x ²  + 64 y ² , y que −4 es una octava potencia módulo  p si y solo si p es representable por x ²  + 32 y ² .

Ejemplos

• El primo p  = 17 es congruente con 1 módulo 16 y no es representable ni por x ²  + 32 y ² ni por x ²  + 64 y ² .
• El primo p  = 113 es congruente con 1 módulo 16 y es representable tanto por x ²  + 32 y ² como por x ² +64 y ² (ya que 113 = 9 ²  + 32×1 ² y 113 = 7 ²  + 64×1 ² ).
• El primo p  = 41 es congruente con 9 módulo 16 y es representable por x ²  + 32 y ² (ya que 41 = 3 ²  + 32×1 ² ), pero no por x ²  + 64 y ² .
• El primo p  = 73 es congruente con 9 módulo 16 y es representable por x ²  + 64 y ² (ya que 73 = 3 ²  + 64×1 ² ), pero no por x ²  + 32 y ² .

Resultados similares

Se conocen cinco resultados similares al teorema de Kaplansky: ^[3]

• Un primo p congruente con 1 módulo 20 es representable por ambos o ninguno de x ²  + 20 y ² y x ²  + 100 y ² , mientras que un primo p congruente con 9 módulo 20 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.
• Un primo p congruente con 1, 16 o 22 módulo 39 es representable por ambos o ninguno de x ²  +  xy  + 10 y ² y x ²  +  xy  + 127 y ² , mientras que un primo p congruente con 4, 10 o 25 módulo 39 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.
• Un primo p congruente con 1, 16, 26, 31 o 36 módulo 55 es representable por ambos o ninguno de x ²  +  xy  + 14 y ² y x ²  +  xy  + 69 y ² , mientras que un primo p congruente con 4, 9, 14, 34 o 49 módulo 55 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.
• Un primo p congruente con 1, 65 o 81 módulo 112 es representable por ambos o ninguno de x ²  + 14 y ² y x ²  + 448 y ² , mientras que un primo p congruente con 9, 25 o 57 módulo 112 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.
• Un primo p congruente con 1 o 169 módulo 240 es representable por ambos o ninguno de x ²  + 150 y ² y x ²  + 960 y ² , mientras que un primo p congruente con 49 o 121 módulo 240 es representable por exactamente una de estas formas cuadráticas.

Se conjetura que no existen otros resultados similares que involucren formas definidas.

Notas

1. Kaplansky, Irving (2003), "Las formas x + 32 y ² y x + 64 y ^2 [ sic ]", Actas de la American Mathematical Society , 131 (7): 2299–2300 (electrónico), doi : 10.1090/S0002-9939-03-07022-9 , MR  1963780.
2. Cox, David A. (1989), Primos de la forma x ² + ny ² , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50654-0, Sr.  1028322.
3. Brink, David (2009), "Cinco teoremas peculiares sobre la representación simultánea de números primos mediante formas cuadráticas", Journal of Number Theory , 129 (2): 464–468, doi :10.1016/j.jnt.2008.04.007, MR  2473893.