Teorema de Kachurovskii

Teorema matemático

En matemáticas , el teorema de Kachurovskii es un teorema que relaciona la convexidad de una función en un espacio de Banach con la monotonía de su derivada de Fréchet .

Enunciado del teorema

Sea K un subconjunto convexo de un espacio de Banach V y sea f  :  K  →  R  ∪ {+∞} una función real extendida que es diferenciable según Fréchet con derivada d f ( x ) :  V  →  R en cada punto x en K . (De hecho, d f ( x ) es un elemento del espacio dual continuo V ^∗ .) Entonces las siguientes son equivalentes:

• f es una función convexa;
• para todos los x e y en K ,

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)(y-x)\leq f(y)-f(x);}$

• d f es un operador monótono (creciente), es decir, para todos los x e y en K ,

${\displaystyle {\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(x-y)\geq 0.}$

Referencias

• Kachurovskii, RI (1960). "Sobre operadores monótonos y funcionales convexos". Estera Uspekhi. Nauk . 15 (4): 213–215.
• Showalter, Ralph E. (1997). Operadores monótonos en el espacio de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Encuestas y monografías matemáticas 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 80. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252 (Proposición 7.4)