Teorema de Helly-Bray

En teoría de la probabilidad , el teorema de Helly-Bray relaciona la convergencia débil de las funciones de distribución acumulativa con la convergencia de las expectativas de ciertas funciones mensurables . Recibe su nombre en honor a Eduard Helly y Hubert Evelyn Bray.

Sean F y F ₁ , F ₂ , ... funciones de distribución acumulativa en la recta real . El teorema de Helly-Bray establece que si F _n converge débilmente a F , entonces

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)\,dF_{n}(x)\quad {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\quad \int _{\mathbb {R} }g(x)\,dF(x)}$

para cada función continua acotada g : R → R , donde las integrales involucradas son integrales de Riemann–Stieltjes .

Nótese que si X y X ₁ , X ₂ , ... son variables aleatorias correspondientes a estas funciones de distribución, entonces el teorema de Helly-Bray no implica que E( X _n ) → E( X ), ya que g ( x ) = x no es una función acotada.

De hecho, se cumple un teorema más fuerte y más general. Sean P y P ₁ , P ₂ , ... medidas de probabilidad en algún conjunto S . Entonces P _n converge débilmente a P si y sólo si

${\displaystyle \int _{S}g\,dP_{n}\quad {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\quad \int _{S}g\,dP,}$

para todas las funciones acotadas, continuas y de valor real en S . (Las integrales en esta versión del teorema son integrales de Lebesgue-Stieltjes .)

El teorema más general anterior se toma a veces como la definición de la convergencia débil de medidas (véase Billingsley, 1999, pág. 3).

Referencias

1. Patrick Billingsley (1999). Convergencia de medidas de probabilidad, 2.ª ed . John Wiley & Sons, Nueva York. ISBN 0-471-19745-9.

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