Integrabilidad uniforme

Concepto matemático

En matemáticas, la integrabilidad uniforme es un concepto importante en el análisis real , el análisis funcional y la teoría de la medida , y juega un papel vital en la teoría de las martingalas .

Definición de teoría de la medida

La integrabilidad uniforme es una extensión de la noción de una familia de funciones dominadas, que es central en la convergencia dominada . Varios libros de texto sobre análisis real y teoría de la medida utilizan la siguiente definición: ^{[1] [2]} ${\displaystyle L_{1}}$

Definición A: Sea un espacio de medida positiva . Un conjunto se llama uniformemente integrable si , y a cada uno le corresponde un tal que ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ ${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

cuando sea y ${\displaystyle f\in \Phi }$ ${\displaystyle \mu (E)<\delta .}$

La definición A es bastante restrictiva para espacios de medida infinitos. GA Hunt introdujo una definición más general ^[3] de integrabilidad uniforme que funciona bien en espacios de medida generales .

Definición H: Sea un espacio de medida positiva. Un conjunto se denomina uniformemente integrable si y solo si ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ ${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f|\,d\mu =0}$

dónde . ${\displaystyle L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu ):g\geq 0\}}$

Dado que la definición de Hunt es equivalente a la Definición A cuando el espacio de medida subyacente es finito (véase el Teorema 2 a continuación), la Definición H es ampliamente adoptada en Matemáticas.

El siguiente resultado ^[4] proporciona otra noción equivalente a la de Hunt. Esta equivalencia se da a veces como definición de integrabilidad uniforme.

Teorema 1: Si es un espacio de medida finito (positivo), entonces un conjunto es uniformemente integrable si y sólo si ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ ${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$

${\displaystyle \inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-g)^{+}\,d\mu =0}$

Si además , entonces la integrabilidad uniforme es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$

1. . ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int (|f|-a)_{+}\,d\mu =0}$

2. ${\displaystyle \inf _{a>0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0}$

Cuando el espacio subyacente es -finito, la definición de Hunt es equivalente a la siguiente: ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Teorema 2: Sea un espacio de medida -finito, y tal que casi en todas partes. Un conjunto es uniformemente integrable si y solo si , y para cualquier , existe tal que ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h\in L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle \Phi \subset L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon }$

cuando sea . ${\displaystyle \int _{A}h\,d\mu <\delta }$

Una consecuencia de los teoremas 1 y 2 es que se sigue la equivalencia de las definiciones A y H para medidas finitas. De hecho, el enunciado de la definición A se obtiene tomando en cuenta el teorema 2. ${\displaystyle h\equiv 1}$

Definición de probabilidad

En la teoría de la probabilidad, la Definición A o el enunciado del Teorema 1 se presentan a menudo como definiciones de integrabilidad uniforme utilizando la notación expectativa de variables aleatorias, ^{[5] [6] [7]} es decir,

1. Una clase de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable si: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Existe un finito tal que, para cada en , y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\leq M}$
• Para cada existe tal que, para cada medible tal que y cada en , . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)\leq \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon }$

o alternativamente

2. Una clase de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable (UI) si para cada existe tal que , donde es la función indicadora . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all }}X\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$ ${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}}$

Hermeticidad e integrabilidad uniforme

Una consecuencia de la integrabilidad uniforme de una clase de variables aleatorias es que la familia de leyes o distribuciones es estricta . Es decir, para cada , existe tal que para todos los . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \{P\circ |X|^{-1}(\cdot ):X\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle a>0}$ $${\displaystyle P(|X|>a)\leq \delta }$$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$

Sin embargo, esto no significa que la familia de medidas sea estricta. (En cualquier caso, la estrechez requeriría una topología para ser definida). ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Continuidad absoluta uniforme

Existe otra noción de uniformidad, ligeramente diferente de la integrabilidad uniforme, que también tiene muchas aplicaciones en la teoría de la probabilidad y la medida, y que no requiere que las variables aleatorias tengan una integral finita ^[9].

Definición: Supongamos que es un espacio de probabilidad. Una clase de variables aleatorias es uniformemente absolutamente continua con respecto a si para cualquier , existe tal que siempre que . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E[|X|I_{A}]<\varepsilon }$ ${\displaystyle P(A)<\delta }$

Es equivalente a integrabilidad uniforme si la medida es finita y no tiene átomos.

El término "continuidad absoluta uniforme" no es estándar, ^{[ cita requerida ]} pero es utilizado por algunos autores. ^{[10] [11]}

Corolarios relacionados

Los siguientes resultados se aplican a la definición probabilística. ^[12]

• La definición 1 podría reescribirse tomando los límites como $${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.}$$
• Una secuencia no integrable. Sea , y definamos Claramente , y de hecho para todo n . Sin embargo, y comparando con la definición 1, se ve que la secuencia no es uniformemente integrable. ${\displaystyle \Omega =[0,1]\subset \mathbb {R} }$ $${\displaystyle X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle X_{n}\in L^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ for all }}n\geq K,}$$

Secuencia no UI de RV. El área debajo de la franja siempre es igual a 1, pero puntual. ${\displaystyle X_{n}\to 0}$

• Si se utiliza la Definición 2 en el ejemplo anterior, se puede ver que la primera cláusula se cumple porque la norma de todos los s es 1, es decir, acotada. Pero la segunda cláusula no se cumple porque, dado cualquier positivo, existe un intervalo con medida menor que y para todos los . ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (0,1/n)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1}$ ${\displaystyle m\geq n}$
• Si es una variable aleatoria UI , al dividir y acotar cada una de las dos, se puede ver que una variable aleatoria uniformemente integrable siempre está acotada en . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|<K\}})}$$ ${\displaystyle L^{1}}$
• Si cualquier secuencia de variables aleatorias está dominada por una integrable, no negativa : es decir, para todo ω y n , entonces la clase de variables aleatorias es uniformemente integrable. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \{X_{n}\}}$
• Una clase de variables aleatorias acotadas en ( ) es uniformemente integrable. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$

Teoremas relevantes

A continuación, utilizamos el marco probabilístico, pero independientemente de la finitud de la medida, agregando la condición de acotación en el subconjunto elegido de . ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

• Teorema de Dunford - Pettis ^{[13] [14]}
  Una clase ^{[ aclaración necesaria ]} de variables aleatorias es uniformemente integrable si y sólo si es relativamente compacta para la topología débil . ^{[ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ]} ${\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$
• Teorema de la Vallée-Poussin ^{[15] [16]}
  La familia es uniformemente integrable si y sólo si existe una función convexa creciente no negativa tal que ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle G(t)}$ $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty .}$$

Relación con la convergencia de variables aleatorias

Una secuencia converge a en la norma si y solo si converge en la medida a y es uniformemente integrable. En términos de probabilidad, una secuencia de variables aleatorias que convergen en probabilidad también convergen en la media si y solo si son uniformemente integrables. ^{[17] Esta es una generalización del} teorema de convergencia dominada de Lebesgue , véase teorema de convergencia de Vitali . ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle X}$

Citas

1. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Singapur: McGraw–Hill Book Co., pág. 133. ISBN 0-07-054234-1.
2. Royden, HL y Fitzpatrick, PM (2010). Análisis real (4.ª edición). Boston: Prentice Hall. pág. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.
3. Hunt, Georgia (1966). Martingalas y Processus de Markov . París: Dunod. pag. 254.
4. Klenke, A. (2008). Teoría de la probabilidad: un curso completo . Berlín: Springer Verlag. pp. 134–137. ISBN 978-1-84800-047-6.
5. Williams, David (1997). Probabilidad con martingalas (edición revisada). Cambridge: Cambridge Univ. Press. págs. 126-132. ISBN 978-0-521-40605-5.
6. Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Springer. págs. 214-218. ISBN . 0-387-22833-0.
7. Bass, Richard F. (2011). Procesos estocásticos . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 356–357. ISBN. 978-1-107-00800-7.
8. Gut 2005, pág. 236.
9. Bass 2011, pág. 356.
10. Benedetto, JJ (1976). Variable Real e Integración . Stuttgart: BG Teubner. pag. 89.ISBN​ 3-519-02209-5.
11. Burrill, CW (1972). Medida, integración y probabilidad . McGraw-Hill. pág. 180. ISBN. 0-07-009223-0.
12. Gut 2005, págs. 215-216.
13. Dunford, Nelson (1938). "Uniformidad en espacios lineales". Transactions of the American Mathematical Society . 44 (2): 305–356. doi : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN  0002-9947.
14. Dunford, Nelson (1939). "Un teorema ergódico medio". Duke Mathematical Journal . 5 (3): 635–646. doi :10.1215/S0012-7094-39-00552-1. ISSN  0012-7094.
15. Meyer, PA (1966). Probabilidad y potenciales , Blaisdell Publishing Co, NY (p. 19, Teorema T22).
16. Poussin, C. De La Vallée (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (4): 435–501. doi :10.2307/1988879. hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR  1988879.
17. Bogachev, Vladimir I. (2007). "Los espacios Lp y los espacios de medidas". Teoría de la medida, volumen I. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. pág. 268. doi :10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN 978-3-540-34513-8.

Referencias

• Shiryaev, AN (1995). Probabilidad (2 ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 187-188. ISBN 978-0-387-94549-1.
• Diestel, J. y Uhl, J. (1977). Medidas vectoriales , Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1