La integrabilidad uniforme es una extensión de la noción de una familia de funciones dominadas, que es central en la convergencia dominada . Varios libros de texto sobre análisis real y teoría de la medida utilizan la siguiente definición: [1] [2]
Definición A: Sea un espacio de medida positiva . Un conjunto se llama uniformemente integrable si , y a cada uno le corresponde un tal que
cuando sea y
La definición A es bastante restrictiva para espacios de medida infinitos. GA Hunt introdujo una definición más general [3] de integrabilidad uniforme que funciona bien en espacios de medida generales .
Definición H: Sea un espacio de medida positiva. Un conjunto se denomina uniformemente integrable si y solo si
dónde .
Dado que la definición de Hunt es equivalente a la Definición A cuando el espacio de medida subyacente es finito (véase el Teorema 2 a continuación), la Definición H es ampliamente adoptada en Matemáticas.
El siguiente resultado [4] proporciona otra noción equivalente a la de Hunt. Esta equivalencia se da a veces como definición de integrabilidad uniforme.
Teorema 1: Si es un espacio de medida finito (positivo), entonces un conjunto es uniformemente integrable si y sólo si
Si además , entonces la integrabilidad uniforme es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones
1. .
2.
Cuando el espacio subyacente es -finito, la definición de Hunt es equivalente a la siguiente:
Teorema 2: Sea un espacio de medida -finito, y tal que casi en todas partes. Un conjunto es uniformemente integrable si y solo si , y para cualquier , existe tal que
cuando sea .
Una consecuencia de los teoremas 1 y 2 es que se sigue la equivalencia de las definiciones A y H para medidas finitas. De hecho, el enunciado de la definición A se obtiene tomando en cuenta el teorema 2.
Definición de probabilidad
En la teoría de la probabilidad, la Definición A o el enunciado del Teorema 1 se presentan a menudo como definiciones de integrabilidad uniforme utilizando la notación expectativa de variables aleatorias, [5] [6] [7] es decir,
1. Una clase de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable si:
Existe un finito tal que, para cada en , y
Para cada existe tal que, para cada medible tal que y cada en , .
Una consecuencia de la integrabilidad uniforme de una clase de variables aleatorias es que la familia de leyes o distribuciones es estricta . Es decir, para cada , existe tal que
para todos los . [8]
Sin embargo, esto no significa que la familia de medidas sea estricta. (En cualquier caso, la estrechez requeriría una topología para ser definida).
Continuidad absoluta uniforme
Existe otra noción de uniformidad, ligeramente diferente de la integrabilidad uniforme, que también tiene muchas aplicaciones en la teoría de la probabilidad y la medida, y que no requiere que las variables aleatorias tengan una integral finita [9].
Definición: Supongamos que es un espacio de probabilidad. Una clase de variables aleatorias es uniformemente absolutamente continua con respecto a si para cualquier , existe tal que
siempre que .
Es equivalente a integrabilidad uniforme si la medida es finita y no tiene átomos.
El término "continuidad absoluta uniforme" no es estándar, [ cita requerida ] pero es utilizado por algunos autores. [10] [11]
Corolarios relacionados
Los siguientes resultados se aplican a la definición probabilística. [12]
La definición 1 podría reescribirse tomando los límites como
Una secuencia no integrable. Sea , y definamos Claramente , y de hecho para todo n . Sin embargo, y comparando con la definición 1, se ve que la secuencia no es uniformemente integrable.
Si se utiliza la Definición 2 en el ejemplo anterior, se puede ver que la primera cláusula se cumple porque la norma de todos los s es 1, es decir, acotada. Pero la segunda cláusula no se cumple porque, dado cualquier positivo, existe un intervalo con medida menor que y para todos los .
Si es una variable aleatoria UI , al dividir y acotar cada una de las dos, se puede ver que una variable aleatoria uniformemente integrable siempre está acotada en .
Si cualquier secuencia de variables aleatorias está dominada por una integrable, no negativa : es decir, para todo ω y n , entonces la clase de variables aleatorias es uniformemente integrable.
Una clase de variables aleatorias acotadas en ( ) es uniformemente integrable.
Teoremas relevantes
A continuación, utilizamos el marco probabilístico, pero independientemente de la finitud de la medida, agregando la condición de acotación en el subconjunto elegido de .
^ Dunford, Nelson (1938). "Uniformidad en espacios lineales". Transactions of the American Mathematical Society . 44 (2): 305–356. doi : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947.
^ Dunford, Nelson (1939). "Un teorema ergódico medio". Duke Mathematical Journal . 5 (3): 635–646. doi :10.1215/S0012-7094-39-00552-1. ISSN 0012-7094.
^ Meyer, PA (1966). Probabilidad y potenciales , Blaisdell Publishing Co, NY (p. 19, Teorema T22).
^ Poussin, C. De La Vallée (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (4): 435–501. doi :10.2307/1988879. hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR 1988879.
^ Bogachev, Vladimir I. (2007). "Los espacios Lp y los espacios de medidas". Teoría de la medida, volumen I. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. pág. 268. doi :10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN978-3-540-34513-8.