Función cuasi analítica

En matemáticas , una clase de funciones cuasi-analíticas es una generalización de la clase de funciones analíticas reales basada en el siguiente hecho: Si f es una función analítica en un intervalo [ a , b ] ⊂  R , y en algún punto f y todos de sus derivadas son cero, entonces f es idénticamente cero en todos [ a , b ]. Las clases cuasianalíticas son clases más amplias de funciones para las cuales esta afirmación sigue siendo válida.

Definiciones

Sea una secuencia de números reales positivos. Entonces la clase de funciones Denjoy-Carleman C ^M ([ a , b ]) se define como aquellas f  ∈  C ^∞ ([ a , b ]) que satisfacen ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}$

para todo x  ∈ [ a , b ], alguna constante A y todos los enteros no negativos k . Si M _k  = 1 esta es exactamente la clase de funciones analíticas reales en [ a , b ].

La clase C ^M ([ a , b ]) se dice cuasi-analítica si siempre que f  ∈  C ^M ([ a , b ]) y

${\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}$

para algún punto x  ∈ [ a , b ] y todo k , entonces f es idénticamente igual a cero.

Una función f se llama función cuasianalítica si f está en alguna clase cuasianalítica.

Funciones cuasianalíticas de varias variables.

Para una función y índices múltiples , denota y ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

y

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

Entonces se llama cuasianalítico en el conjunto abierto si para cada compacto existe una constante tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

para todos los índices múltiples y todos los puntos . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in K}$

La clase Denjoy-Carleman de funciones de variables con respecto a la secuencia en el conjunto se puede denotar , aunque abundan otras notaciones. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

Se dice que la clase Denjoy-Carleman es cuasianalítica cuando la única función que tiene todas sus derivadas parciales iguales a cero en un punto es la función idénticamente igual a cero. ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

Una función de varias variables se dice que es cuasianalítica cuando pertenece a una clase cuasianalítica de Denjoy-Carleman.

Clases cuasianalíticas con respecto a secuencias logarítmicamente convexas

En las definiciones anteriores es posible asumir que y que la secuencia no es decreciente. ${\displaystyle M_{1}=1}$ ${\displaystyle M_{k}}$

Se dice que la secuencia es logarítmicamente convexa , si ${\displaystyle M_{k}}$

${\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}$esta incrementando.

Cuando es logarítmicamente convexo, entonces es creciente y ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}$para todos . ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$

La clase cuasianalítica con respecto a una secuencia logarítmicamente convexa satisface: ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$es un anillo. En particular, está cerrado bajo multiplicación.
• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$está cerrado bajo composición. Específicamente, si y , entonces . ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$ ${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$ ${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$

El teorema de Denjoy-Carleman

El teorema de Denjoy-Carleman, demostrado por Carleman (1926) después de que Denjoy (1921) diera algunos resultados parciales, da criterios sobre la secuencia M bajo la cual C ^M ([ a , b ]) es una clase cuasi analítica. Afirma que las siguientes condiciones son equivalentes:

• C ^M ([ a , b ]) es cuasianalítico.
• ${\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }$dónde . ${\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }$, donde M _j ^* es la secuencia log convexa más grande limitada arriba por M _j .
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}$

La prueba de que las dos últimas condiciones son equivalentes a la segunda utiliza la desigualdad de Carleman .

Ejemplo: Denjoy (1921) señaló que si M _n está dado por una de las secuencias

${\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}$

entonces la clase correspondiente es cuasianalítica. La primera secuencia proporciona funciones analíticas.

Propiedades adicionales

Para una secuencia logarítmicamente convexa se cumplen las siguientes propiedades de la clase de funciones correspondiente: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C^{M}}$contiene las funciones analíticas, y es igual a ella si y sólo si ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }$
• Si es otra secuencia logarítmicamente convexa, con alguna constante , entonces . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}$
• ${\displaystyle C^{M}}$es estable bajo diferenciación si y sólo si . ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }$
• Para cualquier función infinitamente diferenciable existen anillos cuasianalíticos y y elementos , y , tales que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{N}}$ ${\displaystyle g\in C^{M}}$ ${\displaystyle h\in C^{N}}$ ${\displaystyle f=g+h}$

División de Weierstrass

Se dice que una función es regular de orden con respecto a si y . Dado regular de orden con respecto a , se dice que un anillo de funciones reales o complejas de variables satisface la división de Weierstrass con respecto a si para cada hay , y tal que ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$ ${\displaystyle h(0)\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in A_{n}}$ ${\displaystyle q\in A}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$

${\displaystyle f=gq+h}$con . ${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$

Si bien el anillo de funciones analíticas y el anillo de series de potencias formales satisfacen la propiedad de división de Weierstrass, no ocurre lo mismo con otras clases cuasianalíticas.

Si es logarítmicamente convexa y no es igual a la clase de función analítica, entonces no satisface la propiedad de división de Weierstrass con respecto a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$

Referencias

• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "Una prueba simple del teorema de Denjoy-Carleman", The American Mathematical Monthly , 75 (1), Mathematical Association of America: 26–31, doi :10.2307/2315100, ISSN  0002-9890 , JSTOR  2315100, SEÑOR  0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", CR Acad. Ciencia. París , 173 : 1329-1331
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, AF (2001) [1994], "Clase cuasianalítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Carleman", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press