Teorema de Cramér-Wold

En matemáticas , el teorema de Cramér-Wold en la teoría de la medida establece que una medida de probabilidad de Borel está determinada únicamente por la totalidad de sus proyecciones unidimensionales. Se utiliza como método para demostrar resultados de convergencia conjunta. El teorema lleva el nombre de Harald Cramér y Herman Ole Andreas Wold . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Dejar

${\displaystyle {X}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})}$

y

${\displaystyle \;{X}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$

ser vectores aleatorios de dimensión  k . Entonces converge en distribución si y sólo si: ${\displaystyle {X}_{n}}$ ${\displaystyle {X}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\overset {D}{\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

para cada , es decir, si cada combinación lineal fija de las coordenadas de converge en distribución a la combinación lineal correspondiente de coordenadas de . ^[1] ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {X}_{n}}$ ${\displaystyle {X}}$

Si toma valores en , entonces la afirmación también es verdadera con . ^[2] ${\displaystyle {X}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{k}}$ ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} _{+}^{k}}$

Notas a pie de página

1. Billingsley 1995, pág. 383
2. Kallenberg, Olav (2002). Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94957-7. OCLC  46937587.

Referencias

• Este artículo incorpora material del teorema de Cramér-Wold en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida (3 ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-00710-4.
• Cramér, Harald; Mundo, Herman (1936). "Algunos teoremas sobre funciones de distribución". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (4): 290–294. doi :10.1112/jlms/s1-11.4.290.

enlaces externos

• Proyecto Euclides: "¿Cuándo una medida de probabilidad está determinada por infinitas proyecciones?"